【題目】已知拋物線:()上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)直線與拋物線交于不同兩點(diǎn),若滿足,證明直線恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)見(jiàn)解析,.
【解析】
(1)求出拋物線的準(zhǔn)線方程,利用拋物線定義,可得的方程,即可得出拋物線的方程;
(2)方法一:設(shè),,由得,進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算并化簡(jiǎn)整理,運(yùn)用直線的斜率公式和直線方程,以及直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法,可得所求定點(diǎn)坐標(biāo).
方法二:設(shè),,設(shè)直線:(),與拋物線方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系,而,則,代入坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算并解出,進(jìn)行檢驗(yàn)后可得直線方程,由此可得直線恒過(guò)定點(diǎn)以及定點(diǎn)坐標(biāo).
解:(1)拋物線:()的準(zhǔn)線方程為,
由拋物線的定義得,,
解得,
所以拋物線方程為.
(2)方法一:設(shè),,,且,皆不為,
,
,即,
,
又,,
直線斜率為,
直線方程為:,
即為,
直線恒過(guò)定點(diǎn),
直線恒過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.
方法二:設(shè),,
由條件可知直線的斜率不為0,可設(shè)直線:(),
代入,得:,
,,,
,
,
即,
,
,
,符合,
直線:,則直線恒過(guò)定點(diǎn),
直線恒過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某機(jī)構(gòu)用“10分制”調(diào)查了各階層人士對(duì)某次國(guó)際馬拉松賽事的滿意度,現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名,如圖莖葉圖記錄了他們的滿意度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉):
(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(2)若滿意度不低于9.5分,則稱該被調(diào)查者的滿意度為“極滿意”,求從這16人中隨機(jī)選取3人,至少有2人滿意度是“極滿意”的概率;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點(diǎn),點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn),點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上.若(為原點(diǎn)),且,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】海關(guān)對(duì)同時(shí)從三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè),從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位:件)如下表所示,工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件進(jìn)行檢測(cè).
地區(qū) | |||
數(shù)量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求這6件樣品中來(lái)自各地區(qū)商品的數(shù)量;
(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)一步檢測(cè),求這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直.,,,,,,.
(1)求證:平面ABE;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》將“具有良好的心理素質(zhì)”列入新課程的培養(yǎng)目標(biāo).為加強(qiáng)心理健康教育工作的開(kāi)展,不斷提高學(xué)生的心理素質(zhì),九江市某校高二年級(jí)開(kāi)設(shè)了《心理健康》選修課,學(xué)分為2分.學(xué)校根據(jù)學(xué)生平時(shí)上課表現(xiàn)給出“合格”與“不合格”兩種評(píng)價(jià),獲得“合格”評(píng)價(jià)的學(xué)生給予50分的平時(shí)分,獲得“不合格”評(píng)價(jià)的學(xué)生給予30分的平時(shí)分,另外還將進(jìn)行一次測(cè)驗(yàn).學(xué)生將以“平時(shí)分×40%+測(cè)驗(yàn)分×80%”作為“最終得分”,“最終得分”不少于60分者獲得學(xué)分.
該校高二(1)班選修《心理健康》課的學(xué)生的平時(shí)分及測(cè)驗(yàn)分結(jié)果如下:
測(cè)驗(yàn)分 | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
平時(shí)分50分人數(shù) | 0 | 1 | 1 | 3 | 4 | 4 | 2 |
平時(shí)分30分人數(shù) | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表,并分析是否有95%的把握認(rèn)為這些學(xué)生“測(cè)驗(yàn)分是否達(dá)到60分”與“平時(shí)分”有關(guān)聯(lián)?
選修人數(shù) | 測(cè)驗(yàn)分 達(dá)到60分 | 測(cè)驗(yàn)分 未達(dá)到60分 | 合計(jì) |
平時(shí)分50分 | |||
平時(shí)分30分 | |||
合計(jì) |
(2)用樣本估計(jì)總體,若從所有選修《心理健康》課的學(xué)生中隨機(jī)抽取5人,設(shè)獲得學(xué)分人數(shù)為,求的期望.
附:,其中
0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879/p> | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是拋物線上任意一點(diǎn),,且點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)若為點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),過(guò)的直線交曲線于、 兩點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=x2.令g(x)=f(x)-kx-k,若在區(qū)間[-1,3]內(nèi),函數(shù)g(x)=0有4個(gè)不相等實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.(0,+∞)B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放,規(guī)定排放時(shí)污染物的殘留含量不得超過(guò)1%.已知在過(guò)濾過(guò)程中的污染物的殘留數(shù)量P(單位:毫克/升)與過(guò)濾時(shí)間t(單位:小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為:(為正常數(shù),為原污染物數(shù)量).若前5個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過(guò)濾掉了90%,那么要能夠按規(guī)定排放廢氣,至少還需要過(guò)濾( )
A. 小時(shí)B. 小時(shí)C. 5小時(shí)D. 小時(shí)
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