【題目】如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不與重合），是的中點(diǎn).

（1）當(dāng)四面體的外接球的表面積為時(shí)，證明：.平面

（2）當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）由題意，先求得為的中點(diǎn)，再證明平面平面，進(jìn)而可得結(jié)論；

（2）由題意，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，四面體的體積最大，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量運(yùn)算即可.

（1）證明：當(dāng)四面體的外接球的表面積為時(shí).

則其外接球的半徑為.

因?yàn)?/span>時(shí)邊長(zhǎng)為2的菱形，是矩形.

，且平面平面.

則，.

則為四面體外接球的直徑.

所以，即.

由題意，，，所以.

因?yàn)?/span>，所以為的中點(diǎn).

記的中點(diǎn)為，連接，.

則，，，所以平面平面.

因?yàn)?/span>平面，所以平面.

（2）由題意，平面，則三棱錐的高不變.

當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，的面積最大.

所以當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，四面體的體積最大.

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，.

所以，，，.

設(shè)平面的法向量為.

則

令，得.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為.

則

令，得.

設(shè)平面與平面所成銳二面角是，則.

所以當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“偉大的變革—慶祝改革開(kāi)放40周年大型展覽”于2019年3月20日在中國(guó)國(guó)家博物館閉幕，本次特展緊扣“改革開(kāi)放40年光輝歷程”的主線，多角度、全景式描繪了我國(guó)改革開(kāi)放40年波瀾壯闊的歷史畫(huà)卷．據(jù)統(tǒng)計(jì)，展覽全程呈現(xiàn)出持續(xù)火爆的狀態(tài)，現(xiàn)場(chǎng)觀眾累計(jì)達(dá)423萬(wàn)人次，參展人數(shù)屢次創(chuàng)造國(guó)家博物館參觀紀(jì)錄，網(wǎng)上展館點(diǎn)擊瀏覽總量達(dá)4.03億次．

下表是2019年2月參觀人數(shù)（單位：萬(wàn)人）統(tǒng)計(jì)表

日期

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

人數(shù)

3.0

3.1

2.5

2.3

5.4

6.8

6.2

6.7

5.5

4.9

3.2

3.0

2.7

2.5

日期

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

人數(shù)

2.4

2.9

3.2

2.8

2.9

2.3

3.0

2.9

3.1

3.0

3.1

3.1

3.1

3.0

根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題：

（1）請(qǐng)將2019年2月前半月（1～14日）和后半月（15～28日）參觀人數(shù)統(tǒng)計(jì)對(duì)比莖葉圖填補(bǔ)完整，并通過(guò)莖葉圖比較兩組數(shù)據(jù)方差的大�。ú灰笥�(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可）；

（2）將2019年2月參觀人數(shù)數(shù)據(jù)用該天的對(duì)應(yīng)日期作為樣本編號(hào)，現(xiàn)從中抽樣7天的樣本數(shù)據(jù)．若抽取的樣本編號(hào)是以4為公差的等差數(shù)列，且數(shù)列的第4項(xiàng)為15，求抽出的這7個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均值；

（3）根據(jù)國(guó)博以往展覽數(shù)據(jù)及調(diào)查統(tǒng)計(jì)信息可知，單日入館參觀人數(shù)為0～3（含3，單位：萬(wàn)人）時(shí)，參觀者的體驗(yàn)滿意度最佳，在從（2）中抽出的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取兩天的數(shù)據(jù)，求這兩天參觀者的體驗(yàn)滿意度均為最住的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，的最大值為.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，令，是否存在區(qū)間.使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，.

(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(2)當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，證明:且.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（， 為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值；

（2）若曲線上的所有點(diǎn)都在直線的下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，已知四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且四棱錐的體積為.

（1）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證:平面平面；

（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖1，在矩形中，已知，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，將梯形沿折起，使在平面上的射影恰好落在線段靠近的三等分點(diǎn)處，得到圖2中的立體圖形.

（1）（2）

（1）在圖2中，求證：平面；

（2）求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】國(guó)家每年都會(huì)對(duì)中小學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康監(jiān)測(cè)，一分鐘跳繩是監(jiān)測(cè)的項(xiàng)目之一.今年某小學(xué)對(duì)本校六年級(jí)300名學(xué)生的一分鐘跳繩情況做了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)一分鐘跳繩個(gè)數(shù)最低為10，最高為189.現(xiàn)將跳繩個(gè)數(shù)分成，，，，，6組，并繪制出如下的頻率分布直方圖.

（1）若一分鐘跳繩個(gè)數(shù)達(dá)到160為優(yōu)秀，求該校六年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩為優(yōu)秀的人數(shù)；

（2）上級(jí)部門(mén)要對(duì)該校體質(zhì)監(jiān)測(cè)情況進(jìn)行復(fù)查，發(fā)現(xiàn)每組男、女學(xué)生人數(shù)比例有很大差別，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為.試估計(jì)此校六年級(jí)男生一分鐘跳繩個(gè)數(shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，結(jié)果保留整數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是( )

（1）是的極小值點(diǎn)；

（2）函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)；

（3）恒成立；

（4）設(shè)函數(shù)，若存在區(qū)間，使在上的值域是，則.

A.(1) (2)B.(2)(4)C.(1) (2) (4)D.(1)(2)(3)(4)

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