Question

如圖l，在正方形ABCD中，AB=2，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上的一點(diǎn)，對(duì)角線AC分別交DE、DF于M、N兩點(diǎn)．將ADAE，CDCF折起，使A、C重合于A點(diǎn)，構(gòu)成如圖2所示的幾何體．
（I）求證：A′D⊥面A′EF；
（Ⅱ）試探究：在圖1中，F(xiàn)在什么位置時(shí)，能使折起后的幾何體中EF∥平面AMN，并給出證明．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又A′E∩A′F=A′，A′E?面A′EF，A′F?面A′EF，
∴A′D⊥面A′EF．
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，EF∥面A′MN．
證明如下：當(dāng)點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，
在圖（1）中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，
所以EF∥AC，
即在圖（2）中有EF∥MN．
又EF?面A′MN，MN?面A′MN，
所以EF∥面A′MN．
分析：（Ⅰ）由題意可得，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F=A′，利用線面垂直的判定定理即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，EF∥面A′MN．在圖（1）中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，可得EF∥AC，而M∈AC，N∈AC，從而可得EF∥MN，繼而有EF∥平面AMN．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定與直線與平面平行的判定，正確理解題意，將圖形折起是基礎(chǔ)，熟練應(yīng)用線面垂直與線面平行的判定定理是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．