如圖三棱錐P-ABC中,△ABC是正三角形,∠PCA=90°,D為PA的中點,二面角P-AC-B為120°,PC=2,AB=2
3

(Ⅰ)求證:AC⊥BD;
(Ⅱ)求BD與底面ABC所成角的正弦值.
分析:(Ⅰ)取AC中點E,連DE、BE,證明AC⊥平面DEB,即可證得結(jié)論;
(Ⅱ)求得∠DEB是二面角P-AC-B的平面角,過D作平面ABC的垂線DF,垂足F必在直線BE延長線上,∠DBE即為BD與底面ABC所成的角,求出BD,利用正弦定理,可得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)證明:取AC中點E,連DE、BE,
則DE∥PC,PC⊥AC
∴DE⊥AC …(2分)
又△ABC是正三角形可得BE⊥AC
由線面垂直的判定定理知AC⊥平面DEB,又BD?平面BED
∴AC⊥BD                             …(5分)  
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)中知DE⊥AC,BE⊥AC
∴∠DEB是二面角P-AC-B的平面角,∴∠DEB=120°
又AB=2
3
其中線 BE=
3
2
AB=3
DE=
1
2
PC=1

∵AC⊥平面BDE,AC?平面ABC
∴平面ABC⊥平面BDE且交線為BE,…(7分)
過D作平面ABC的垂線DF,垂足F必在直線BE上  
又∠DEB=120°,∴設(shè)F在BE延長線上,則∠DBE即為BD與底面ABC所成的角         …(9分)
又△DEB中 DB2=DE2+BE2-2BE•DEcos120°=13,∴BD=
13

由正弦定理:
DE
sin∠DBE
=
13
sin120°
,
sin∠DBE=
39
26
,即BD與底面ABC所成的角的正弦值為
39
26
…(12分)
點評:本題考查線面垂直,考查線面角,正確運用線面垂直的判定定理,作出線面角是關(guān)鍵.
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如圖三棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,AC⊥BC,BC=
3
AC=2
3
,PB=3
2
,且PB與平面ABC所成的角為45°,求二面角P-BC-A的正切值.

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