Question

已知直線l₁：x+3y-5=0，l₂：3kx-y+1=0．若l₁，l₂與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有一個外接圓，則k=________．

Answer 1

±1
分析：由l₁，l₂與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有一個外接圓，可得此四邊形存在一組對角的和等于180°．當(dāng)直線l₂的斜率
大于零時，根據(jù)l₁⊥l₂ ，由此求得k的值．當(dāng)直線l₂的斜率小于零時，應(yīng)有∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，即tan∠ABC=
-tan∠ADC，由此又求得一個k值，綜合可得結(jié)論．
解答：由題意知，l₁，l₂與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有一組對角互補(bǔ)．
由于直線l₁：x+3y-5=0是一條斜率等于-的固定直線，直線l₂：3kx-y+1=0經(jīng)過定點A（0，1），
當(dāng)直線l₂的斜率大于零時，應(yīng)有l(wèi)₁⊥l₂ ，∴3 k×（-）=-1，解得 k=1．
當(dāng)直線l₂的斜率小于零時，如圖所示：設(shè)直線l₁與y軸的交點為B，與x軸的交點為C，l₂ 與x軸的交點為D，
要使四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，應(yīng)有∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，即tan∠ABC=-tan∠ADC．
再由tan（90°+∠ABC）=K_BC=-，可得tan∠ABC=3，∴tan∠ADC=-3=K_AD=3k，解得 k=-1．
綜上可得，k=1或 k=-1，
故答案為：±1．

點評：本題考查兩條直線垂直的條件，直線的傾斜角、斜率間的關(guān)系，存在一組對角的和等于180°的四邊形一定有外接圓，
屬于基礎(chǔ)題．