Question

已知直線l₁：x-2y-1=0，直線l₂：ax-by+1=0
（1）集合A={1，2，3，4，5，6}，若a∈A、b∈A且隨機(jī)取數(shù)，求l₁與l₂平行的概率；
（2）若a∈[0，6]、b∈[0，4]且隨機(jī)取數(shù)，求l₁與l₂的交點(diǎn)位于第一象限的概率．

Answer 1

分析：（1）利用兩直線平行，得到a，b的關(guān)系，然后利用古典概型求概率．
（2）先求出l₁與l₂的交點(diǎn)，然后利用交點(diǎn)在第一象限，得出a，b的關(guān)系式，然后利用幾何概型的公式求概率．

解答：解：（1）若l₁與l₂平行，則

a

1

=

-b

-2

≠

-1

1

，解得b=2a．
因?yàn)閍∈A、b∈A，所以a，b的組合共有6×6=36種．
所以滿足b=2a的a，b有（1，2），（2，4），（3，6）有3種．
所以l₁與l₂平行的概率為

3

36

=

1

12

．
（2）由a，b構(gòu)成的基本事件為

0≤a≤6 0≤b≤4

表示的區(qū)域．
直線x-2y-1=0的斜截式方程為y=

1

2

x-

1

2

，斜率為

1

2

．
由ax-by+1=0，得解得y=

a

b

x+

1

b

，所以直線的斜率

a

b

≥0，y軸上的截距

1

b

＞0，
所以要使l₁與l₂的交點(diǎn)位于第一象限，則必有

a

b

＜

1

2

，即b＞2a．
所以利用幾何概型分別作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則l₁與l₂的交點(diǎn)位于第一象限，對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)殛幱安糠值拿娣e．
當(dāng)b=4時(shí)，解得a=2，即E（2，4）．
所以三角形OBE的面積為

1

2

×4×2=4，而矩形OBCD的面積為4×6=24．
所以由幾何概型可知l₁與l₂的交點(diǎn)位于第一象限的概率為

4

24

=

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了古典概型和幾何概型的概率公式的應(yīng)用．對(duì)應(yīng)幾何概型要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的長(zhǎng)度，面積或體積來(lái)進(jìn)行計(jì)算．本題的難點(diǎn)是如何求出l₁與l₂的交點(diǎn)位于第一象限的條件，最后要通過(guò)線性規(guī)劃來(lái)解決．