如圖,多面體PABCD的直觀圖及三視圖如圖所示,E、F分別為PC、BD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EF∥平面PAD;
(Ⅱ)求證:平面PDC⊥平面PAD.
分析:(Ⅰ)直接由線面平行的判定定理證明EF∥平面PAD;
(Ⅱ)要證平面PDC⊥平面PAD,只需證明平面PDC垂直于平面PAD內(nèi)的一條垂涎即可,有面面垂直的性質(zhì)及解直角三角形即可得到證明.
解答:證明:由多面體PABCD的三視圖知,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面PAD是等腰三角形,PA=PD=
2

且平面PAD平面ABCD.
(1)連結(jié)AC,則F是AC的中點(diǎn),
在△CPA中,EF∥PA,
且PA?平面PAD,EF?平面PAD,
∴EF∥平面PAD;
(2)因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,
又CD⊥AD,所以,CD⊥平面PAD,
∴CD⊥PA
又PA=AD=
2
,AD=2,∴△PAD是等腰直角三角形,
∠PAD=
π
2
,即PA⊥AD
又CD∩PD=D,∴PA⊥平面PDC,
又PA?平面PAD,
∴平面PAD⊥平面PDC.
點(diǎn)評(píng):本題考查了面面垂直的判定,考查了直線與平面垂直的性質(zhì),綜合考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力,是中檔題.
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如圖,多面體PABCD的直觀圖及三視圖如圖所示,E、F分別為PC、BD的中點(diǎn).

(1)求證:EF∥平面PAD;

(2)求證:平面PDC⊥平面PAD.

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