Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列對一切均滿足．證明：
（1）；
（2）．

Answer 1

（1）詳見解析，（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）作差證明不等式，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/25/a/1bfns4.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，且．
因此．即.（2）本題證明：用數(shù)學(xué)歸納法，而證明用反證法. ① 當(dāng)時(shí)，由題設(shè)可知成立；② 假設(shè)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由（1）得，．由①，②可得，．假設(shè)存在自然數(shù)，使得，則一定存在自然數(shù)，使得．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/dd/8/1dcmw2.png" style="vertical-align:middle;" />，，， ，，與題設(shè)矛盾，所以，．若，則，根據(jù)上述證明可知存在矛盾．
【證明】（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/25/a/1bfns4.png" style="vertical-align:middle;" />，，與題設(shè)矛盾，所以，．若，則，根據(jù)上述證明可知存在矛盾．
所以，
所以，且．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/80/b/180bp2.png" style="vertical-align:middle;" />．
所以，
所以，即．                          4分
（注：用反證法證明參照給分）
（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：．
① 當(dāng)時(shí)，由題設(shè)可知結(jié)論成立；
② 假設(shè)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由（1）得，．
由①，②可得，．                               7分
下面先證明．
假設(shè)存在自然數(shù)，使得，則一定存在自然數(shù)，使得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/dd/8/1dcmw2.png" style="vertical-align:middle;" />，，
， ，，
與題設(shè)矛盾，所以，．          
若，則，根據(jù)上述證明可知存在矛盾．
所以成立．                                          10分
考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法