【題目】如圖,已知橢圓 的離心率為, 、為橢圓的左右頂點(diǎn),焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2, 、為橢圓上異于的兩點(diǎn),且直線的斜率等于直線斜率的2倍.

(Ⅰ)求證:直線與直線的斜率乘積為定值;

(Ⅱ)求三角形的面積的最大值.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).

【解析】試題分析:(Ⅰ)由橢圓的方程可得點(diǎn)P,A,B的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)式求直線斜率的方法可求出BP,BQ的斜率乘積為定值-1;(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率存在時, , , ,當(dāng)直線的斜率不存在時, ,故綜合的最大值為.

試題解析:

(Ⅰ)

,故

(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè) 軸的交點(diǎn)為,

代入橢圓方程得,

設(shè) ,則 ,

,得,

,

,得. 

,所以過定點(diǎn),

點(diǎn)為右端點(diǎn),舍去,

),

, , ,

當(dāng)直線的斜率不存在時, , ,

,即,解得 ,

所以的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求直線 AF2 的直角坐標(biāo)方程;
(2)經(jīng)過點(diǎn) F1 且與直線AF2 垂直的直線 l 交此圓錐曲線于M,N 兩點(diǎn),求||MF1|-|NF1|| 的值.

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②f(x1x2)=f(x1)+f(x2);
>0;
④f( )<
當(dāng)f(x)=2x時,上述結(jié)論中正確的有( )個.
A.3
B.2
C.1
D.0

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