(2012•揚(yáng)州模擬)已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x,
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)將函數(shù)y=f(x)圖象向右平移
π
4
個(gè)單位后,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若g(α)=
2
3
+1
,α為第一象限角,求sin2α值.
分析:(Ⅰ)將f(x)解析式第一項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù),根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間列出關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集即可得到f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)利用平移規(guī)律:“左加右減”,確定出f(x)平移后的解析式g(x),根據(jù)g(α)的值列出關(guān)系式,整理后得出sin(2α-
π
4
)的值,由α為第一象限角,得出2α-
π
4
的范圍,再根據(jù)sin(2α-
π
4
)的范圍,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos(2α-
π
4
)的值,將所求式子中的角2α變形為(2α-
π
4
)+
π
4
,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后,將各自的值代入即可求出值.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=
2
sin(2x+
π
4
)+1,
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)得:kπ-
8
≤x≤kπ+
π
8
,k∈Z,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-
8
,kπ+
π
8
](k∈Z);
(Ⅱ)由題意得:g(x)=
2
sin(2x-
π
4
)+1,
由A(0,-1),得
2
sin(2α-
π
4
)+1=
2
3
+1,
∴sin(2α-
π
4
)=
1
3
,
又α為第一象限角,
∴2α-
π
4
∈(4kπ-
π
4
,4kπ+
4
),k∈Z,
又0<sin(2α-
π
4
)<
1
3
2
2
知,
∴2α-
π
4
∈(4kπ,4kπ+
π
2
),k∈Z,
∴cos(2α-
π
4
)=
2
2
3
,
∴sin2α=sin[(2α-
π
4
)+
π
4
]=
2
2
[sin(2α-
π
4
)+cos(2α-
π
4
)]=
2
2
1
3
+
2
2
3
)=
2
+4
6
點(diǎn)評(píng):此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的定義域與值域,三角函數(shù)圖象的變換,以及正弦函數(shù)的單調(diào)性,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.
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(2012•揚(yáng)州模擬)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn),
PA
=
3
2
PF1
-
1
2
PF2
,且△PF1F2的三邊構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若OP=2
7
,求橢圓方程;
(Ⅲ) 若c=1,點(diǎn)P在第一象限,且△PF1F2的外接圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓只有一個(gè)公共點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo)﹒

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(2012•揚(yáng)州模擬)已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的一條漸近線與曲線y=x3+2相切,則該雙曲線的離心率等于
10
10

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(2012•揚(yáng)州模擬)如圖:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中點(diǎn),E是線段D1O上一點(diǎn),且
D1E
=λ•
EO

(Ⅰ)求證:DB1⊥平面CD1O;
(Ⅱ)若平面CDE⊥平面CD1O,求λ的值.

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(2012•揚(yáng)州模擬)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|-3<x≤1},則A∪B=
{x|-3<x<2}
{x|-3<x<2}

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(2012•揚(yáng)州模擬)復(fù)數(shù)
1-
2
i
i
的實(shí)部與虛部的和是
-1-
2
-1-
2

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