Question

（2012•揚州模擬）如圖：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中點，E是線段D₁O上一點，且

D1E

=λ•

EO

．
（Ⅰ）求證：DB₁⊥平面CD₁O；
（Ⅱ）若平面CDE⊥平面CD₁O，求λ的值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)正方體棱長為1，以DA，DC，DD₁為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出D、B₁、O、C、D₁的坐標(biāo)，從而得到向量

DB1

、

CD1

和

OC

的坐標(biāo)，通過計算得到

DB1

與

CD1

、

DB1

與

OC

的數(shù)量積均為零，得到DB₁與CD₁、OC都垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理，可證出DB₁⊥平面CD₁O；
（II）設(shè)平面CDE的法向量為

n

=(x，y，z)，利用垂直的兩個向量數(shù)量積為零的方法列出方程組，取x=-2，得z=λ，得

n

=(-2，0，λ)，結(jié)合平面CDE的法向量為

m

=(1，1，1)，所以

m

•

n

=0，可得到λ的值．

解答：解：（Ⅰ）不妨設(shè)正方體的棱長為1，以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則可得D(0，0，0)，B1(1，1，1)，O(

1

2

，

1

2

，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)
于是：

DB1

=(1，1，1)，

CD1

=(0，-1，1)，

OC

=(-

1

2

，

1

2

，0)
∵

DB1

•

CD1

=1×0+1×(-1)+1×1=0，

DB1

•

OC

=1×(-

1

2

)+1×

1

2

+1×0=0
∴DB₁⊥CD₁，DB₁⊥OC，
∵CD₁，OC為平面CD₁O內(nèi)兩條相交直線，
∴DB₁⊥平面CD₁O
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面CD₁O的法向量取

m

=

DB1

=(1，1，1)
∵

D1E

=λ•

EO

，∴E(

λ

2(1+λ)

，

λ

2(1+λ)

，

1

1+λ

)
又設(shè)平面CDE的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

n

•

CD

=0，

n

•

DE

=0
得

y=0 λx 2(1+λ) + λy 2(1+λ) + z 1+λ =0

，
取x=-2，得z=λ，即

n

=(-2，0，λ)
∵平面CDE⊥平面CD₁O，
∴

m

•

n

=0，即1×（-2）+1×0+1×λ=0，可得λ=2

點評：本題在正方體中研究線面垂直和面面垂直的問題，著重考查了平面與平面垂直的性質(zhì)、直線與平面垂直的判定和利用空間坐標(biāo)系研究空間的垂直問題等知識點，屬于基礎(chǔ)題．