Question

觀察如圖所示5個(gè)等式：照?qǐng)D中式子規(guī)律：
（1）寫出第6個(gè)等式，并猜想第n個(gè)等式；（n∈N^*）
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第n個(gè)等式成立．（n∈N^*）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）通過前5個(gè)表達(dá)式，直接寫出第6個(gè)等式，并猜想第n個(gè)等式；（n∈N^*）
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟，直接證明上述所猜想的第n個(gè)等式成立．（n∈N^*）

解答： 解：（1）第6個(gè)等式為-1+3-5+7-9+11=6 
…（2分）
猜想：第n 個(gè)等式為-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ•（2n-1）=（-1）ⁿ•n …（4分）
（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法給予證明：-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ•（2n-1）=（-1）ⁿ•n 
①當(dāng)n=1時(shí)，由已知得原式成立； …（5分）
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原式成立，
即-1+3-5+7-9+…+（-1）^k•（2k-1）=（-1）^k•k 
…（6分）
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，-1+3-5+7-9+…+（-1）^k•（2k-1）+（-1）^k+1•（2k+1）
=（-1）^k•k+（-1）^k+1•（2k+1）=（-1）^k+1•（-k+2k+1）=（-1）^k+1•（k+1）
故n=k+1時(shí)，原式也成立 …（11分）
由①②知，-1+3-5+7-9+…+（-1）ⁿ•（2n-1）=（-1）ⁿ•n 
成立…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立，注意證明步驟的應(yīng)用，缺一不可．