【題目】選修4-5:不等式選講
已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x﹣m|+|x|,m∈N* , 存在實數(shù)x使f(x)<2成立.
(Ⅰ)求實數(shù)m的值;
(Ⅱ)若α,β>1,f(α)+f(β)=2,求證: + ≥ .
【答案】(I)解:∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|, ∴要使|x﹣m|+|x|<2有解,則|m|<2,解得﹣2<m<2.
∵m∈N* , ∴m=1.
(II)證明:α,β>0,f(α)+f(β)=2α﹣1+2β﹣1=2,
∴α+β=2.
∴ + = = ≥ = ,當且僅當α=2β= 時取等號
【解析】(I)|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|,要使|x﹣m|+|x|<2有解,則|m|<2,m∈N* , 解得m.(II)α,β>1,f(α)+f(β)=2α﹣1+2β﹣1=2,可得α+β=2.再利用基本不等式的性質即可得出.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解基本不等式的相關知識,掌握基本不等式:,(當且僅當時取到等號);變形公式:.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=log2(|x+1|+|x﹣1|﹣a)
(1)當a=3時,求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)若不等式f(x)≥2的解集為R,求實數(shù)a的最大值.
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【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,離心率為,且過點P。
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點F交橢圓于A.B兩點,求弦AB的長。
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【題目】某地區(qū)2007年至2013年農村居民家庭純收入(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入 | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y關于的線性回歸方程;
(2)判斷y與之間是正相關還是負相關?
(3)預測該地區(qū)2015年農村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:,
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形.點E是棱PC的中點,平面ABE與棱PD交于點F.
(1)求證:AB∥EF;
(2)若PA=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求證:AF⊥平面PCD.
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【題目】某校書法興趣組有3名男同學A,B,C和3名女同學X,Y,Z,其年級情況如下表:
一年級 | 二年級 | 三年級 | |
男同學 | A | B | C |
女同學 | X | Y | Z |
現(xiàn)從這6名同學中隨機選出2人參加書法比賽每人被選到的可能性相同.
用表中字母列舉出所有可能的結果;
設M為事件“選出的2人來自不同年級且性別相同”,求事件M發(fā)生的概率.
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【題目】從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內任取兩個球,那么互斥而不對立的兩個事件是( )
A. “至少有一個黑球”與“都是紅球”
B. “至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”
C. “至少有一個黑球”與“都是黑球”
D. “恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2|cosx|sinx+sin2x,給出下列四個命題:
①函數(shù)f(x)的圖象關于直線 對稱;
②函數(shù)f(x)在區(qū)間 上單調遞增;
③函數(shù)f(x)的最小正周期為π;
④函數(shù)f(x)的值域為[﹣2,2].
其中真命題的序號是 . (將你認為真命題的序號都填上)
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【題目】已知橢圓上一點與橢圓右焦點的連線垂直于x軸,直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(均不在坐標軸上).
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設O為坐標原點,若△AOB的面積為,試判斷直線OA與OB的斜率之積是否為定值?若是請求出,若不是請說明理由.
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