Question

已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)也在橢圓上，且滿足（是坐標(biāo)原點(diǎn)），，若橢圓的離心率為.
（1）若的面積等于，求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與（1）中的橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（），點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，求的值.

Answer 1

（1）   （2）

試題分析：（1）利用離心率溝通和及的關(guān)系，再由三角形面積得到另一個(gè)，，的關(guān)系，
可求得橢圓方程為：．
（3）由（2）可知A（-2,0）．設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x_1,,y₁）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),
于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
由方程組消去y并整理，得
由得
設(shè)線段AB是中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為
以下分兩種情況：
①當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）．線段AB的垂直平分線為y軸，于是
．
②當(dāng)K時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為
令x=0，解得
由

整理得．
經(jīng)驗(yàn)證，都符合題意，故．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的過程一般是把直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和判別式來作為解題的關(guān)鍵．