Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的圖象與x軸有兩個不同的公共點(diǎn)，若f（c）=0且0＜x＜c時，f（x）＞0．
（1）試比較

1

a

與c的大小；
（2）證明：-2＜b＜-1．

Answer 1

分析：（1）由題意得c、

1

a

是方程f（x）=0的兩個根，欲比較

1

a

與c的大小，利用反證法去證明

1

a

＜c不可能，從而得到

1

a

＞c；
（2）先由f（c）=0，得b=-1-ac．從而得到b＜-1，再利用（1）的結(jié)論，比較f（x）圖象的對稱軸與

1

a

的大小，從而確定b的取值范圍即可．

解答：解：（1）∵f（x）的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，
∴f（x）=0有兩個不同的實(shí)數(shù)根x₁，x₂．
∵f（c）=0，
∴c是方程f（x）=0的一個根，
不妨設(shè)x₁=c，
∵x₁x₂=

c

a

，∴x₂=

1

a

（

1

a

≠c），
假設(shè)

1

a

＜c，又

1

a

＞0，由0＜x＜c時，f（x）＞0，
得f（

1

a

）＞0，與已知f（

1

a

）=0矛盾，∴

1

a

＞c．
（2）證明：由f（c）=0，得ac+b+1=0，
∴b=-1-ac．
又a＞0，c＞0，∴b＜-1．
f（x）圖象的對稱軸方程為
x=-

b

2a

=

x1+x2

2

=

1 a +c

2

＜

1 a + 1 a

2

=

1

a

，
即-

b

2a

＜

1

a

．
又a＞0，∴b＞-2，∴-2＜b＜-1．

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的證明，有些不等式無法利用用題設(shè)的已知條件直接證明，我們可以間接的方法--反證法去證明，
即通過否定原結(jié)論---導(dǎo)出矛盾---從而達(dá)到肯定原結(jié)論的目的．