Question

設(shè)f（x）=|2x-1|，若不等式f（x）≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

對(duì)任意實(shí)數(shù)a≠0恒成立，則x取值集合是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式

分析：把f（x）看作是一個(gè)參數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求

|a+1|-|2a-1|

|a|

的最大值，再把此式看作是關(guān)于a的函數(shù)，通過(guò)分段處理的方式，可獲得最值．

解答： 解：∵不等式f（x）≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

對(duì)任意實(shí)數(shù)a≠0恒成立，
∴f（x）大于或等于

|a+1|-|2a-1|

|a|

的最大值，
令g（a）=

|a+1|-|2a-1|

|a|

，則當(dāng)a≤-1時(shí)，g（a）=-1+

2

a

；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，g（a）=-3；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，g（a）=3；
當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，g（a）=-1+

2

a

，
即g（a）=

-1+ 2 a ，a≤-1 -3，-1＜a＜0 3，0＜a＜ 1 2 -1+ 2 a ，a≥ 1 2

∴g（a）有最大值g（

1

2

）=-1+

2

1 2

=3．
∴f（x）≥3，即|2x-1|≥3，解得x≤-1或x≥2．
故答案為{x|x≤-1或x≥2}．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于恒成立問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：
（1）弄清誰(shuí)是參數(shù)
我們習(xí)慣上把a(bǔ)當(dāng)作參數(shù)，但由于本題是“對(duì)任意實(shí)數(shù)a≠0恒成立”，所以不等式f（x）≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

應(yīng)看作是關(guān)于a的不等式；
（2）如何去絕對(duì)值符號(hào)
求函數(shù)g（a）=

|a+1|-|2a-1|

|a|

的最大值時(shí)，采用了分段處理的方法，分段的依據(jù)是以三個(gè)臨界點(diǎn)-1，0，

1

2

為準(zhǔn)則進(jìn)行討論，從而順利地去掉了絕對(duì)值符號(hào)．