Question

（本小題滿分14分）

設，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖6所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經過橢圓的右焦點．

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）設分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

Answer 1

（1）由得

當時，，點的坐標為

，

過點的切線方程為，即，

令得，點的坐標為；

由橢圓方程得點的坐標為，

，即，

因此所求的橢圓方程及拋物線方程分別為和．

（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點，

以為直角的只有一個，

同理以為直角的只有一個；

若以為直角，設點的坐標為，則坐標分別為

由得，

關于的一元二次方程有一解，有二解，即以為直角的有二個；

因此拋物線上共存在4個點使為直角三角形．

解析:

考查橢圓的、拋物線的方程，圖形及其簡單的幾何性質，直線和圓錐曲線的位置關系，運算能力，分析、解決問題的能力.