Question

某城市自西向東和自南向北的兩條主干道的東南方位有一塊空地，市規(guī)劃部門(mén)計(jì)劃利用它建設(shè)一個(gè)供市民休閑健身的小型綠化廣場(chǎng)，如下圖所示是步行小道設(shè)計(jì)方案示意圖，其中，Ox，Oy分別表示自西向東，自南向北的兩條主干道．設(shè)計(jì)方案是自主干道交匯點(diǎn)O處修一條步行小道，小道為拋物線y=x²的一段，在小道上依次以點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(n≥10，n∈N*)為圓心，修一系列圓型小道，這些圓型小道與主干道Ox相切，且任意相鄰的兩圓彼此外切，若x₁=1（單位：百米）且x_n+1＜x_n．
（1）記以P_n為圓心的圓與主干道Ox切于A_n點(diǎn)，證明：數(shù)列{

1

xn

}是等差數(shù)列，并求|OA_n|關(guān)于n的表達(dá)式；
（2）記⊙P_n的面積為S_n，根據(jù)以往施工經(jīng)驗(yàn)可知，面積為S的圓型小道的施工工時(shí)為

πS

（單位：周）．試問(wèn)5周時(shí)間內(nèi)能否完成前n個(gè)圓型小道的修建？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析：（1）依題意可設(shè)⊙p_n的半徑rn=yn=xn2，由題意可得|p_np_n+1|=r_n+r_n+1，代入點(diǎn)的坐標(biāo)整理可得

1

xn+1

-

1

xn

=2，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求

1

xn

，進(jìn)而可求x_n，即可求解
（2）由sn=πrn2=πxn4=

π

(2n-1)4

，代入T_n=

πs1

+

πs2

+…+

πsn

=π[

1

12

+

1

32

+…+

1

(2n-1)2

]，利用放縮法及裂項(xiàng)即可求解和，可求

解答：解：（1）依題意可設(shè)⊙p_n的半徑rn=yn=xn2
∵⊙p_n與⊙p_n+1相切
∴|p_np_n+1|=r_n+r_n+1
∴

(xn-xn+1)2

+

(yn-yn+1)2

=y_n+y_n+1
兩邊平方整理可得，(xn-xn+1)2=4xn2xn+12
∵x_n＞x_n+1＞0
∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1
∴

1

xn+1

-

1

xn

=2
∴{

1

xn

}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列
∴

1

xn

=1+2(n-1)=2n-1
∴xn=

1

2n-1

即|OAn|=

1

2n-1

（2）∵sn=πrn2=πxn4=

π

(2n-1)4

設(shè)前幾個(gè)圓型小道的施工總時(shí)為T(mén)_n=

πs1

+

πs2

+…+

πsn

=π[

1

12

+

1

32

+…+

1

(2n-1)2

]
＜π[1+

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-3)(2n-1)

]
=π[1+

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-3

-

1

2n-1

]

=π[1+

1

2

(1-

1

2n-1

)]=

3n-2

2n-1

π＜

3π

2

＜5
故5周內(nèi)完成修建工作

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓外切性質(zhì)的應(yīng)用，利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解通項(xiàng)公式，數(shù)列的裂項(xiàng)求和及放縮法在不等式中的應(yīng)用