某城市自西向東和自南向北的兩條主干道的東南方位有一塊空地,市規(guī)劃部門計劃利用它建設一個供市民休閑健身的小型綠化廣場,如下圖所示是步行小道設計方案示意圖,其中,Ox,Oy分別表示自西向東,自南向北的兩條主干道.設計方案是自主干道交匯點O處修一條步行小道,小道為拋物線y=x2的一段,在小道上依次以點為圓心,修一系列圓型小道,這些圓型小道與主干道Ox相切,且任意相鄰的兩圓彼此外切,若x1=1(單位:百米)且xn+1<xn
(1)記以Pn為圓心的圓與主干道Ox切于An點,證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求|OAn|關(guān)于n的表達式;
(2)記⊙Pn的面積為Sn,根據(jù)以往施工經(jīng)驗可知,面積為S的圓型小道的施工工時為(單位:周).試問5周時間內(nèi)能否完成前n個圓型小道的修建?請說明你的理由.

【答案】分析:(1)依題意可設⊙pn的半徑,由題意可得|pnpn+1|=rn+rn+1,代入點的坐標整理可得,結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求,進而可求xn,即可求解
(2)由==,代入Tn==,利用放縮法及裂項即可求解和,可求
解答:解:(1)依題意可設⊙pn的半徑
∵⊙pn與⊙pn+1相切
∴|pnpn+1|=rn+rn+1
=yn+yn+1
兩邊平方整理可得,
∵xn>xn+1>0
∴xn-xn+1=2xnxn+1

∴{}是以1為首項,以2為公差的等差數(shù)列
=2n-1

(2)∵==
設前幾個圓型小道的施工總時為Tn=
=

=

==<5
故5周內(nèi)完成修建工作
點評:本題主要考查了圓外切性質(zhì)的應用,利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解通項公式,數(shù)列的裂項求和及放縮法在不等式中的應用
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某城市自西向東和自南向北的兩條主干道的東南方位有一塊空地,市規(guī)劃部門計劃利用它建設一個供市民休閑健身的小型綠化廣場,如下圖所示是步行小道設計方案示意圖,其中,Ox,Oy分別表示自西向東,自南向北的兩條主干道.設計方案是自主干道交匯點O處修一條步行小道,小道為拋物線y=x2的一段,在小道上依次以點P1(x1y1),P2(x2y2),…,Pn(xn,yn)(n≥10,n∈N*)為圓心,修一系列圓型小道,這些圓型小道與主干道Ox相切,且任意相鄰的兩圓彼此外切,若x1=1(單位:百米)且xn+1<xn
(1)記以Pn為圓心的圓與主干道Ox切于An點,證明:數(shù)列{
1
xn
}
是等差數(shù)列,并求|OAn|關(guān)于n的表達式;
(2)記⊙Pn的面積為Sn,根據(jù)以往施工經(jīng)驗可知,面積為S的圓型小道的施工工時為
πS
(單位:周).試問5周時間內(nèi)能否完成前n個圓型小道的修建?請說明你的理由.

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其中,分別表示自西向東,自南向北的兩條主干道.設計方案是自主干道交匯點處修一條步行小道,小道為拋物線的一段,在小道上依次以點

為圓心,修一系列圓型小道,這些圓型小道與主干道相切,且任意相鄰的兩圓彼此外切,若(單位:百米)且.

(1)記以為圓心的圓與主干道切于點,證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求關(guān)于的表達式;

(2)記的面積為,根據(jù)以往施工經(jīng)驗可知,面積為的圓型小道的施工工時為(單位:周).試問5周時間內(nèi)能否完成前個圓型小道的修建?請說明你的理由.

 

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(1)記以Pn為圓心的圓與主干道Ox切于An點,證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求|OAn|關(guān)于n的表達式;
(2)記⊙Pn的面積為Sn,根據(jù)以往施工經(jīng)驗可知,面積為S的圓型小道的施工工時為(單位:周).試問5周時間內(nèi)能否完成前n個圓型小道的修建?請說明你的理由.

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