Question

在菱形ABCD中，AC=2，BD=4，AC與BD交于0，將△ABC）沿著AC折起，使D點至點D′，且D′點到平面ABC距離為

3

，如圖所示．
（1）求證AC丄BD；
（2）E是BO的中點，過C作平面ABC的垂線l，直線l上是否存在一點F，使EF∥平面AD′C？若存在，求出CF的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面平行的性質(zhì),空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明AC⊥平面BOD′即可證明AC丄BD；
（2）根據(jù)線面平行的判定定理進行判斷即可．

解答： 解：（1）設AC∩BD=0，
則菱形ABCD，AC⊥BD，
∴AC⊥OD′，AC⊥OB，
∵OD′∩OB=O，OD′?平面BOD′，OB?面BOD′，
∴AC⊥平面BOD′，
∴AC丄BD；
（2）過D′作D'H⊥DO，于H，連接CH，AH，AE，CE，
由（1）得平面BOD'⊥平面ABC，
故HD'⊥平面ABC，
故D'H=

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，
∴OH=

OD′2-D′H2

=1=OE，
∴四邊形AECH為平行四邊形，
∴CH∥AE，CH=AE，
∴CH∥AE，CH=AE，
在l上截取CF=

3

，
∵HD'⊥平面ABC，CF⊥平面ABC，
∴CF∥DH，
又CF=DH=

3

，
∴四邊形CFD'H為平行四邊形，
∴CH∥D'F，CH=D'F，而CH∥AE，CH=AE，
∴AE∥D'F，D'F=AE，
∴四邊形D'AEF為平行四邊形，
∴AD'∥EF，
∵EF?平面AD'C，AD'?平面ADC，
∴EF∥平面AD'C，
故存在F，使EF∥平面AD′C，此時CF=

3

．

點評：本題主要考查空間直線和平面垂直和平行的判定，要求熟練掌握相應的判定定理，考查學生的推理能力．