【題目】已知函數(shù)fx)=lnxsinx+axa0).

1)若a1,求證:當(dāng)x1)時(shí),fx)<2x1

2)若fx)在(0,2π)上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn),求a的取值范圍.

【答案】1)詳見解析;(2)(01).

【解析】

1)構(gòu)造函數(shù)gx)=fx)﹣(2x1),對(duì)其求導(dǎo)研究其在x單調(diào)性,即可證明結(jié)論;

2)先對(duì)fx)求導(dǎo),然后把fx)在(0,2π)上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)問題,利用ya0)與函數(shù)ycosx,x0)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)求出a的取值范圍即可.

解:(1)證明:當(dāng)a1時(shí),fx)=lnxsinx+x,令gx)=fx)﹣(2x1)=lnxsinxx+1,x

,∴gx)在(1)上單調(diào)遞減,

gx)<g1)=﹣sin10,所以fx)<2x1;

2)解:由題知,令,所以

在(0,2π)上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn),

∴函數(shù)ya0)與函數(shù)ycosxx0,)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),

,即

所以a的取值范圍為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列選項(xiàng)中說法正確的是(

A.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為

B.命題的否定是;

C.在三角形中,,則的逆否命題是真命題

D.冪函數(shù)過點(diǎn),則.

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【題目】平面向量,共線的充要條件是(

A.

B.兩向量中至少有一個(gè)為零向量

C.λR,

D.存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1λ2,

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【題目】已知橢圓C1ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A0,﹣1),離心率為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)若直線y=kx1)(k0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)PQ,線段PQ的中點(diǎn)為M,點(diǎn)B1,0),求證:點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若關(guān)于x的不等式e2xalnxa恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

A.[02e]B.(﹣∞,2e]C.[02e2]D.(﹣∞,2e2]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱錐中,、分別為棱、的中點(diǎn),平面,,,則(

A.三棱錐的體積為

B.直線與直線垂直

C.平面截三棱錐所得的截面面積為

D.點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.

1)求a

2)討論函數(shù)的單調(diào)性;

3)設(shè),求證:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給定數(shù)列,記該數(shù)列前項(xiàng)中的最大項(xiàng)為,該數(shù)列后項(xiàng),, …..,中的最小項(xiàng)為.

1)對(duì)于數(shù)列:3,47,1,求出相應(yīng)的,;

2是數(shù)列的前項(xiàng)和,若對(duì)任意,有,其中,

①設(shè),判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列;

②若數(shù)列對(duì)應(yīng)的滿足:對(duì)任意的正整數(shù)恒成立,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為實(shí)現(xiàn)2020年全面建設(shè)小康社會(huì),某地進(jìn)行產(chǎn)業(yè)的升級(jí)改造.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研和科學(xué)研判,準(zhǔn)備大規(guī)模生產(chǎn)某高科技產(chǎn)品的一個(gè)核心部件,目前只有甲、乙兩種設(shè)備可以獨(dú)立生產(chǎn)該部件.如圖是從甲設(shè)備生產(chǎn)的部件中隨機(jī)抽取400件,對(duì)其核心部件的尺寸x,進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理的頻率分布直方圖.

根據(jù)行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定,該核心部件尺寸x滿足:|x12|≤1為一級(jí)品,1<|x12|≤2為二級(jí)品,|x12|>2為三級(jí)品.

(Ⅰ)現(xiàn)根據(jù)頻率分布直方圖中的分組,用分層抽樣的方法先從這400件樣本中抽取40件產(chǎn)品,再?gòu)乃槿〉?/span>40件產(chǎn)品中,抽取2件尺寸x∈[12,15]的產(chǎn)品,記ξ為這2件產(chǎn)品中尺寸x∈[14,15]的產(chǎn)品個(gè)數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(Ⅱ)將甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝出售時(shí),需要進(jìn)行檢驗(yàn).已知每箱有100件產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為50.檢驗(yàn)規(guī)定:若檢驗(yàn)出三級(jí)品需更換為一級(jí)或二級(jí)品;若不檢驗(yàn),讓三級(jí)品進(jìn)入買家,廠家需向買家每件支付200元補(bǔ)償.現(xiàn)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽檢了10件,結(jié)果發(fā)現(xiàn)有1件三級(jí)品.若將甲設(shè)備的樣本頻率作為總體的慨率,以廠家支付費(fèi)用作為決策依據(jù),問是否對(duì)該箱中剩余產(chǎn)品進(jìn)行一一檢驗(yàn)?請(qǐng)說明理由;

(Ⅲ)為加大升級(jí)力度,廠家需增購(gòu)設(shè)備.已知這種產(chǎn)品的利潤(rùn)如下:一級(jí)品的利潤(rùn)為500元/件;二級(jí)品的利潤(rùn)為400元/件;三級(jí)品的利潤(rùn)為200元/件.乙種設(shè)備產(chǎn)品中一、二、三級(jí)品的概率分別是,.若將甲設(shè)備的樣本頻率作為總體的概率,以廠家的利潤(rùn)作為決策依據(jù).應(yīng)選購(gòu)哪種設(shè)備?請(qǐng)說明理由.

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