【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,∠BCC1= ,AB=BB1=2,BC=1,D為CC1中點(diǎn).
(1)求證:DB1⊥平面ABD;
(2)求二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值.
【答案】
(1)證明:∵BC=B1C1=1,CD=C1D= BB1=1,∠BCC1= ,∠B1C1D=π﹣∠BCC1= ,
∴BD=1,B1D= ,
∴BB12=BD2+B1D2,∴BD⊥B1D.
∵AB⊥平面BB1C1C,BD平面BB1C1C,
∴AB⊥B1D,又AB平面ABD,BD平面ABD,AB∩BD=B,
∴DB1⊥平面ABD
(2)解:以B為原點(diǎn),以BB1,BA所在直線為x軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz,如圖所示:
則A(0,0,2),D( , ,0),B1(2,0,0),A1(2,0,2),
∴ =( ,﹣ ,0), =(﹣2,0,2), =(0,0,2).
設(shè)平面AB1D的法向量為 =(x1,y1,z1),平面A1B1D的法向量為 =(x2,y2,z2),
則 , ,即 , ,
令x1=1得 =(1, ,1),令x2=1得 =(1, ,0).
∴cos< , >= = = .
∵二面角A﹣B1D﹣A1是銳角,
∴二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值為 .
【解析】(1)利用余弦定理計(jì)算BD,B1D,再由勾股定理的逆定理得出BD⊥B1D,由AB⊥平面BB1C1C得出AB⊥B1D,于是得出B1D⊥平面ABD;(2)以B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,求出平面AB1D的法向量 ,平面A1B1D的法向量 ,計(jì)算cos< , >即可得出二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列兩個(gè)命題:命題p1:a,b∈(0,+∞),當(dāng)a+b=1時(shí), + =4;命題p2:函數(shù)y=ln 是偶函數(shù).則下列命題是真命題的是( )
A.p1∧p2
B.p1∧(¬p2)
C.(¬p1)∨p2
D.(¬p1)∨(¬p2)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正整數(shù)數(shù)列中,由1開(kāi)始依次按如下規(guī)則,將某些數(shù)取出.先取1;再取1后面兩個(gè)偶數(shù)2,4;再取4后面最鄰近的3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5,7,9;再取9后面的最鄰近的4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10,12,14,16;再取此后最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17,19,21,23,25.按此規(guī)則一直取下去,得到一個(gè)新數(shù)列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…,則在這個(gè)新數(shù)列中,由1開(kāi)始的第2 019個(gè)數(shù)是( )
A. 3 971B. 3 972C. 3 973D. 3 974
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,圓C與x軸相切于點(diǎn)T(2,0),與y軸的正半軸相交于A,B兩點(diǎn)(A在B的上方),且AB=3.
(1)求圓C的方程;
(2)直線BT上是否存在點(diǎn)P滿(mǎn)足PA2+PB2+PT2=12,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如果圓C上存在E,F(xiàn)兩點(diǎn),使得射線AB平分∠EAF,求證:直線EF的斜率為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某顏料公司生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,其中生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品,需要甲染料1噸,乙染料4噸,丙染料2噸,生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品,需要甲染料1噸,乙染料0噸,丙染料5噸,且該公司一條之內(nèi)甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過(guò)50噸、160噸和200噸,如果A產(chǎn)品的利潤(rùn)為300元/噸,B產(chǎn)品的利潤(rùn)為200元/噸,則該顏料公司一天之內(nèi)可獲得的最大利潤(rùn)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,0),若直線l的極坐標(biāo)方程為 ρcos(θ+ )﹣1=0,曲線C的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)).
(1)求直線l和曲線C的普通方程;
(2)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求 + .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下面四個(gè)推理:
①由“若是實(shí)數(shù),則”推廣到復(fù)數(shù)中,則有“若是復(fù)數(shù),則”;
②由“在半徑為R的圓內(nèi)接矩形中,正方形的面積最大”類(lèi)比推出“在半徑為R的球內(nèi)接長(zhǎng)方體中,正方體的體積最大”;
③以半徑R為自變量,由“圓面積函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是圓的周長(zhǎng)函數(shù)”類(lèi)比推出“球體積函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是球的表面積函數(shù)”;
④由“直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)、的中點(diǎn)坐標(biāo)為”類(lèi)比推出“極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)、的中點(diǎn)坐標(biāo)為”.
其中,推理得到的結(jié)論是正確的個(gè)數(shù)有( )個(gè)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】鄉(xiāng)大學(xué)生攜手回鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),他們引進(jìn)某種果樹(shù)在家鄉(xiāng)進(jìn)行種植試驗(yàn).他們分別在五種不同的試驗(yàn)田中種植了這種果樹(shù)100株并記錄了五種不同的試驗(yàn)田中果樹(shù)的死亡數(shù),得到如下數(shù)據(jù):
試驗(yàn)田 | 試驗(yàn)田1 | 試驗(yàn)田2 | 試驗(yàn)田3 | 試驗(yàn)田4 | 試驗(yàn)田5 |
死亡數(shù) | 23 | 32 | 24 | 29 | 17 |
(Ⅰ)求這五種不同的試驗(yàn)田中果樹(shù)的平均死亡數(shù);
(Ⅱ)從五種不同的試驗(yàn)田中隨機(jī)取兩種試驗(yàn)田的果樹(shù)死亡數(shù),記為x,y,用(x,y)的形式列出所有的基本事件,其中(x,y)和(y,x)視為同一事件,并求的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會(huì)超過(guò)300):
空氣質(zhì)量指數(shù) | (0,50] | (50,100] | (100,150] | (150,200] | (200,250] | (250,300] |
空氣質(zhì)量等級(jí) | 1級(jí)優(yōu) | 2級(jí)良 | 3級(jí)輕度污染 | 4級(jí)中度污染 | 5級(jí)重度污染 | 6級(jí)嚴(yán)重污染 |
該社團(tuán)將該校區(qū)在2016年100天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如圖,把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率.
(Ⅰ)請(qǐng)估算2017年(以365天計(jì)算)全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)(未滿(mǎn)一天按一天計(jì)算);
(Ⅱ)該校2017年6月7、8、9日將作為高考考場(chǎng),若這三天中某天出現(xiàn)5級(jí)重度污染,需要凈化空氣費(fèi)用10000元,出現(xiàn)6級(jí)嚴(yán)重污染,需要凈化空氣費(fèi)用20000元,記這三天凈化空氣總費(fèi)用為X元,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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