Question

單調(diào)遞增數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足4S_n=a_n²+4n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足

1

2

an+1+log2bn=log2an，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由4S_n=a_n²+4n，利用遞推關(guān)系可得：(an-2)2-

a

2 n-1

=0，變?yōu)椋╝_n-2+a_n-1）（a_n-2-a_n-1）=0，利用數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，可得a_n-a_n-1=2．利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）由數(shù)列{b_n}滿足

1

2

an+1+log2bn=log2an，可得bn=

an

2n+1

=

n

2n

．再利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵4S_n=a_n²+4n．
∴當(dāng)n=1時，4a₁=

a

2 1

+4，解得a₁=2；
當(dāng)n≥2時，4Sn-1=

a

2 n-1

+4（n-1），
∴4a_n=4S_n-4S_n-1=a_n²+4n-[

a

2 n-1

+4(n-1)]，
化為(an-2)2-

a

2 n-1

=0，變?yōu)椋╝_n-2+a_n-1）（a_n-2-a_n-1）=0，
∴a_n+a_n-1=2或a_n-a_n-1=2．
∵數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，a_n+a_n-1=2應(yīng)該舍去，
∴a_n-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為2，公差為2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）∵數(shù)列{b_n}滿足

1

2

an+1+log2bn=log2an，
∴

1

2

×2(n+1)=log2

an

bn

，
∴bn=

an

2n+1

=

n

2n

．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

2+n

2n+1

，
∴Tn=2-

2+n

2n

．

點評：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式、對數(shù)的運算性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．