Question

如圖1，在邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC中，E，F(xiàn)，P分別為AB，AC，BC上的點(diǎn)，且滿足AE=FC=CP=1．將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使平面A₁EF⊥平面EFB，連接A₁B，A₁P．（如圖2）
（Ⅰ）若Q為A₁B中點(diǎn)，求證：PQ∥平面A₁EF；
（Ⅱ）求證：A₁E⊥EP．

Answer 1

證明：（Ⅰ）取A₁E中點(diǎn)M，連接QM，MF．
在△A₁BE中，Q，M分別為A₁B，A₁E的中點(diǎn)，
所以QM∥BE，且．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/434190.png' />，
所以PF∥BE，且，
所以QM∥PF，且QM=PF．
所以四邊形PQMF為平行四邊形．
所以PQ∥FM． …（5分）
又因?yàn)镕M?平面A₁EF，且PQ?平面A₁EF，
所以PQ∥平面A₁EF． …（7分）
（Ⅱ） 取BE中點(diǎn)D，連接DF．
因?yàn)锳E=CF=1，DE=1，
所以AF=AD=2，而∠A=60°，即△ADF是正三角形．
又因?yàn)锳E=ED=1，所以EF⊥AD．
所以在圖2中有A₁E⊥EF．…（9分）
因?yàn)槠矫鍭₁EF⊥平面EFB，平面A₁EF∩平面EFB=EF，
所以A₁E⊥平面BEF．…（12分）
又EP?平面BEF，
所以A₁E⊥EP．…（14分）
分析：（Ⅰ）取A₁E中點(diǎn)M，利用三角形中位線的性質(zhì)，可得QM∥BE，且，進(jìn)一步可得QM∥PF，且QM=PF，從而四邊形PQMF為平行四邊形，可得PQ∥FM，利用線面平行的判定，可得PQ∥平面A₁EF；
（Ⅱ） 取BE中點(diǎn)D，可得△ADF是正三角形，從而可得EF⊥AD，即A₁E⊥EF，根據(jù)平面A₁EF⊥平面EFB，可得A₁E⊥平面BEF，利用線面垂直的性質(zhì)，可得A₁E⊥EP．
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間線面位置關(guān)系，考查線面平行、線面垂直，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行、線面垂直的判定方法，屬于中檔題．