Question

2．已知f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[m，m+2]（m＞0）上的最小值；
（Ⅱ）證明：對一切x∈（0，+∞），都有$f（x）＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，進而可求函數(shù)f（x）=xlnx在[m，m+2]（m＞0）上的最小值；
（2）問題等價于證明$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0，+∞））$成立，求出f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）的最小值，$g（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0，+∞））$的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意知x∈（0，+∞），f'（x）=lnx+1，…（1分）
∴當$x∈（0，\frac{1}{e}）$，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．…（3分）
∵m＞0，∴$m+2＞2＞\frac{1}{e}$
∴①當$0＜m＜\frac{1}{e}$時，$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$；…（5分）
②當$m≥\frac{1}{e}$時，f（x）在[m，m+2]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（m）=mlnm；
∴$f{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{e}，0＜m＜\frac{1}{e}\\ mlnm，m≥\frac{1}{e}\end{array}\right.$．  …（7分）
（Ⅱ）問題等價于證明$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0，+∞））$成立，由（Ⅰ）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是$-\frac{1}{e}$，當且僅當$x=\frac{1}{e}$時取到．…（8分）
設(shè)$g（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0，+∞））$，則$g'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，（1，+∞）上單調(diào)遞減；…（10分）
∴$g{（x）_{max}}=g（1）=-\frac{1}{e}$，當且僅當x=1時取到，…（11分）
∴對一切x∈（0，+∞），都有$f（x）＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$成立． …（12分）

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，及函數(shù)不等式恒成立問題．轉(zhuǎn)化思想是關(guān)鍵，屬于中檔題．