已知△ABC的頂點A,B在橢圓x2+3y2=4上,C在直線l:y=x+2上,且AB∥l.
(1)求邊AB中點的軌跡方程;
(2)當AB邊通過坐標原點O時,求△ABC的面積;
(3)當∠ABC=90°,且斜邊AC的長最大時,求AB所在直線的方程.
分析:(1)設AB所在直線的方程為y=x+m,將它代入橢圓方程消去y得到一個關于x的二元方程,再利用中點坐標公式結(jié)合根與系數(shù)的關系即可得邊AB中點的軌跡方程;
(2)欲求△ABC的面積,只須求出邊AB的長及高即可,利用(1)中的關于x的二元方程結(jié)合弦長公式可求得AB,又因為AB邊上的高h等于原點到直線l的距離,可求得三角形的高,從而求得面積;
(3)因∠ABC=90°,由勾股定理得|AC|2=|AB|2+|BC|2其中|AB|可求(1)中的方程結(jié)合弦長公式可求得,又因為BC的長等于點(0,m)到直線l的距離也可距離公式求出,表示出斜邊AC的長后利用函數(shù)的最值求出其最大即可.
解答:解:(1)設AB所在直線的方程為y=x+m
x2+3y2=4
y=x+m
得4x2+6mx+3m2-4=0.(2分)
因為A、B在橢圓上,所以△=-12m2+64>0.-
4
3
3
<m<
4
3
3

設A、B兩點坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2),中點為P(x0,y0
x1+x2=-
3m
2
,m=-
4
3
x0
y0=x0-
4
3
x0=-
1
3
x0

所以中點軌跡方程為y=-
1
3
x(-
3
<x<
3
,且x≠-
3
2
)
(4分)

(2)∵AB∥l,且AB邊通過點(0,0),故AB所在直線的方程為y=x.
此時m=0,由(1)可得x=±1,所以|AB|=
2
|x1-x2|=2
2
(6分)
又因為AB邊上的高h等于原點到直線l的距離,所以h=
2
(8分)
S△ABC=
1
2
|AB|•h=2
.(10分)

(3)由(1)得x1+x2=-
3m
2
,x1x2=
3m2-4
4
,
所以|AB|=
2
|x1-x2|=
32-6m2
2
.(12分)
又因為BC的長等于點(0,m)到直線l的距離,即|BC|=
|2-m|
2
.(14分)
所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11.
所以當m=-1時,AC邊最長,(這時△=-12+64>0)
此時AB所在直線的方程為y=x-1.(16分)
點評:本題主要考查了直線的一般式方程、軌跡方程、直線與圓錐曲線的綜合問題,突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法,要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高.
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在直角坐標系xoy中,已知△ABC的頂點A(-1,0)和C(1,0),頂點B在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
上,則
sinA+sinC
sinB
的值是( 。
A、
3
2
B、
3
C、4
D、2

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已知△ABC的頂點A(2,8),B(-4,0),C(6,0),
(1)求直線AB的斜率; 
(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.

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已知△ABC的頂點A,B的坐標分別為(-4,0),(4,0),C 為動點,且滿足|AC|+|BC|=
54
|AB|
,求點C的軌跡方程,并說明它是什么曲線.

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已知△ABC的頂點A(1,3),AB邊上的中線CM所在直線方程為2x-3y+2=0,AC邊上的高BH所在直線方程為2x+3y-9=0.求:
(1)頂點C的坐標;
(2)直線BC的方程.

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已知△ABC的頂點A(0,-4),B(0,4),且4(sinB-sinA)=3sinC,則頂點C的軌跡方程是
y2
9
-
x2
7
=1
(y>3)
y2
9
-
x2
7
=1
(y>3)

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