Question

已知函數(shù)y=

10x-1

10x+1

．
（1）寫出函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）試證明函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，我們易求出使函數(shù)解析式有意義的自變量x的取值范圍，即函數(shù)的定義域；
（2）判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）利用作差法，構(gòu)造出f（x₁）-f（x₂）的表達式，再利用指數(shù)函數(shù)的值域、單調(diào)性等易判斷其符號，進而判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可得到函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）∵10^x+1＞0恒成立
∴函數(shù)的定義域R
（2）∵f（-x）=

10-x-1

10-x+1

=

1-10x

1+10x

=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)
（3）設(shè)任意兩個變量x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

10x1-1

10x1+1

-

10x2-1

10x2+1

=

2(10x1-10x2)

(10x1+1)•(10x2+1)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的定義域的求法，函數(shù)奇偶性的判斷與函數(shù)單調(diào)性的判斷及指數(shù)函數(shù)的值域和單調(diào)性，熟練掌握函數(shù)的各種性質(zhì)及判斷方法是解答本題的關(guān)鍵．