Question

已知菱形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為4，2i，-4，-2i．
（1）復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R）滿足|z|≤6，求復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z落在菱形ABCD內(nèi)部的概率；
（2）復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈Z）滿足|x|≤4，|y|≤2．求復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z落在菱形ABCD外部的概率．

Answer 1

分析：（1）由于滿足|z|≤6所有的點(diǎn)Z的集合是一個(gè)圓面，菱形ABCD在其內(nèi)部，分別求出其面積，利用幾何概型的概率計(jì)算公式即可得出．
（2）先求出滿足條件的所有整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再求出在菱形外部的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式就看得出．

解答：解：（1）滿足|z|≤6所有的點(diǎn)Z的集合是一個(gè)圓面，其面積是36π．
菱形ABCD在其內(nèi)部，且面積為16．                           
故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z落在菱形內(nèi)的概率為P=

16

36π

=

4

9π

．
（2）當(dāng)復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部x，y都是整數(shù)，且|x|≤4，|y|≤2時(shí)，
對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z共有9×5=45個(gè)．                                                                      
當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，共有6個(gè)點(diǎn)在菱形ABCD外．由對(duì)稱性知，共有4×6=24個(gè)點(diǎn)在菱形外，
故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z落在菱形外的概率是P=

24

45

=

8

15

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握幾何概型的概率、古典概型的概率計(jì)算公式、及正確得出基本事件的總數(shù)和要求事件所包含基本事件的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．