Question

一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是兩條直角邊分別是1和2的兩個(gè)全等的直角三角形，俯視圖是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形．
（Ⅰ）請(qǐng)畫出這個(gè)三棱錐的直觀圖，并求出它的體積；
（Ⅱ）以D為頂點(diǎn)，DD₁，DA，DC為相鄰的三條棱，作
平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，已知點(diǎn)E在AA₁上移動(dòng)
（1）當(dāng)E點(diǎn)為AA₁的中點(diǎn)時(shí)，證明BE⊥平面B₁C₁E．
（2）在CC₁上求一點(diǎn)P，使得平面BC₁E∥平面PAD₁，指出P點(diǎn)的位置
（Ⅲ）AE為何值時(shí)，二面角C-ED₁-D的大小為45°．

Answer 1

分析：（Ⅰ）三視圖復(fù)原幾何體是一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)直接求出它的體積；
（Ⅱ）以D為頂點(diǎn)，DD₁，DA，DC為相鄰的三條棱，作平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，已知點(diǎn)E在AA₁上移動(dòng)
（1）當(dāng)E點(diǎn)為AA₁的中點(diǎn)時(shí)，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系如圖，通過(guò)

BE

•

C1E

=0與

BE

•

B1E

=0，證明BE⊥平面B₁C₁E．
（2）在CC₁上求一點(diǎn)P，A₁E=PC時(shí)，有AD₁∥BC₁使得平面BC₁E∥平面PAD₁；
（Ⅲ）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)E（1，0，m），求出平面C-ED₁-D的法向量

n

=（2-m，2，1），

D

C=（0，1，0），利用二面角C-ED₁-D的大小為45°求出m值．

解答：解：（Ⅰ）該三棱錐的直觀圖是有一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，
如圖所示的三棱錐D₁-ACD其中底面ACD是直角邊長(zhǎng)為1的直角三角形，高DD₁=2，故所求的體積是V=

1

3

×12×2×

1

2

=

1

3

；
（Ⅱ）（1）當(dāng)E點(diǎn)為AA₁的中點(diǎn)時(shí)，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系如圖，則B（1，1，0），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），E（1，0，1）

BE

=(0，-1，1)，

B1E

=(0，-1，-1)，

C1E

=(-1，1，1)

BE

•

B1E

=0，

BE

•

C1E

=0
所以BE⊥B₁E且BE⊥C₁E，所以BE⊥平面B₁C₁E．
（2）可知當(dāng)A₁E=PC時(shí)，有AD₁∥BC₁，BE∥PD₁所以平面BC₁E∥平面PAD₁
注：也可以求兩個(gè)平面的法向量，說(shuō)明兩個(gè)法向量共線即可．
（Ⅲ）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系如圖
設(shè)E（1，0，m）則D（0，0，0），C（0，1，0）D₁（0，0，2）

C

E=（1，-1，m），

CD1

=（0，-1，2）
設(shè)向量

n

=（x，y，z）滿足

n

⊥

CE

，

n

⊥

CD1

于是

x-y+mz=0 -y+2z=0

解得

x=(2-m)z y=2z

取z=1得

n

=（2-m，2，1）
又

D

C=（0，1，0）
即

(2-m，2，1)•(0，1，0)

(2-m)2+22+12 • 02+12+02

=

2

2

解得m=2±

3

因?yàn)閙＜2所以m=2-

3

即AE=2-

3

時(shí)，二面角C-ED₁-D的大小為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三視圖的知識(shí)，三視圖還原幾何體，直線與平面平行與垂直的證明，二面角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，空間想象能力，計(jì)算能力．