Question

【題目】某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的三種部件的訂單，每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2，2，1（單位：件）．已知每個工人每天可生產(chǎn)部件6件，或部件3件，或部件2件．該企業(yè)計劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)部件的人數(shù)與生產(chǎn)部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為（為正整數(shù)）．

（1）設生產(chǎn)部件的人數(shù)為，分別寫出完成三件部件生產(chǎn)需要的時間；

（2）假設這三種部件的生產(chǎn)同時開工，若，求完成訂單任務的最短時間，并給出此時具體的人數(shù)分組方案．

Answer 1

【答案】（1）A:，B:，C:，其中均為1到200之間的正整數(shù)；

（2）最短時間為天，生產(chǎn)三種部件的人數(shù)分別為44，88，68．

【解析】

試題分析：（1）產(chǎn)品件數(shù)都是3000，關鍵是求出人數(shù)分配，由題意生產(chǎn)A部件人數(shù)為，則B有人，C有人，這樣由產(chǎn)品件數(shù)除以人數(shù)可得時間；（2）的最大值就是完成任務所需時間，記為，為減函數(shù)，為增函數(shù)，時，，在時，取得最小值．

試題解析：（1）設完成三種部件的生產(chǎn)任務需要的時間（單位：天）分別為，由題設有，

，

其中均為1到200之間的正整數(shù)

（2）完成訂單任務的時間為．

易知，為減函數(shù)，為增函數(shù)，注意到，

于是當時，，此時，，

由函數(shù)的單調(diào)性知，當時，取得最小值，解得，

由于，而，∵，

∴當時完成訂單任務的時間最短，且最短時間為

此時，生產(chǎn)三種部件的人數(shù)分別為44，88，68．