【題目】已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.
(Ⅰ)求證:BD⊥A1C;
(Ⅱ)求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值;
(Ⅲ)在線段CC1上是否存在點P,使得平面A1CD1⊥平面PBD,若存在,求出 的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(Ⅰ)證明:∵ABCD﹣A1B1C1D1為正四棱柱,

∴AA1⊥平面ABCD,且ABCD為正方形.

∵BD平面ABCD,∴BD⊥AA1,BD⊥AC

∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面A1AC.

∵A1C平面A1AC,

∴BD⊥A1C.

(Ⅱ)解:如圖,以D為原點建立空間直角坐標系D﹣xyz.

則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4),

C1(0,2,4),D1(0,0,4),

=(2,0,0), =(0,2,﹣4).

設平面A1D1C的法向量 =(x1,y1,z1).

.即

令z1=1,則y1=2.∴ =(0,2,1).

由(Ⅰ)知平面AA1C的法向量為 =(2,2,0)

∴cos< >= =

∵二面角A﹣A1C﹣D1為鈍二面角,

∴二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值為﹣

(Ⅲ)解:設P(x2,y2,z2)為線段CC1上一點,且 =

=(x2,y2﹣2,z2), =(﹣x2,2﹣y2,4﹣z2).

∴(x2,y2﹣2,z2)=λ(﹣x2,2﹣y2,4﹣z2).

∴P(0,2, ).

設平面PBD的法向量

,

.即

令y3=1,得 =(﹣1,1,﹣ ).

若平面A1CD1⊥平面PBD,則 =0.

即2﹣ =0,解得

所以當 = 時,平面A1CD1⊥平面PBD


【解析】(Ⅰ)由已知條件推導出BD⊥AA1,BD⊥AC,從而得到BD⊥平面A1AC,由此能證明BD⊥A1C.(Ⅱ) 以D為原點建立空間直角坐標系D﹣xyz,利用向量法能求出二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值.(Ⅲ)設P(x2,y2,z2)為線段CC1上一點,且 = ,利用向量法能求出當 = 時,平面A1CD1⊥平面PBD.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面平行的性質(zhì)和直線與平面垂直的性質(zhì)的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為:線面平行則線線平行;垂直于同一個平面的兩條直線平行.

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