Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，
PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為 ，求直線(xiàn)PA與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PC．

∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2 ．

∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．

∵AC平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC．

（Ⅱ）如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)， ， ， 分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，﹣2，0）．

設(shè)P（0，0，2a）（a＞0），則E（1，﹣1，a）， =（2，2，0）， =（0，0，2a）， =（1，﹣1，a）．

取 =（1，﹣1，0），則 = =0， 為面PAC的法向量．

設(shè) =（x，y，z）為面EAC的法向量，則 = =0，

即 ，取x=a，y=﹣a，z=﹣2，則 =（a，﹣a，﹣2），

依題意，|cos＜ ， ＞|= = = ，則a=2．

于是n=（2，﹣2，﹣2）， =（2，2，﹣4）．

設(shè)直線(xiàn)PA與平面EAC所成角為θ，

則sinθ=|cos＜ ， ＞|= = ，

即直線(xiàn)PA與平面EAC所成角的正弦值為

【解析】（Ⅰ）證明AC⊥PC．AC⊥BC．通過(guò)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理證明平面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)， ， ， 分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)以及面PAC的法向量．面EAC的法向量，通過(guò)二面角P﹣AC﹣E的余弦值為 ，求出直線(xiàn)PA的向量，利用向量的數(shù)量積求解直線(xiàn)PA與平面EAC所成角的正弦值即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直)，還要掌握空間角的異面直線(xiàn)所成的角(已知為兩異面直線(xiàn)，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．