Question

已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知動直線與橢圓相交于、兩點(diǎn). ①若線段中點(diǎn)的
橫坐標(biāo)為，求斜率的值；②若點(diǎn)，求證：為定值.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）①②見解析

解析試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/64/8/1yogs.png" style="vertical-align:middle;" />滿足， ，   ……2分
，解得，則橢圓方程為.          ……4分
（Ⅱ）①將代入中得
,                                         ……6分

,                                                     ……7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a9/2/123uy4.png" style="vertical-align:middle;" />中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得.         ……9分
②由（1）知，
所以            ……11分

                               ……12分

                                       ……14分
考點(diǎn)：本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算等綜合應(yīng)用，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力和邏輯推理、轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.
點(diǎn)評：直線與圓錐曲線的問題在高考中通常作為壓軸題出現(xiàn)，難度較大，特別是運(yùn)輸量比較大，要多加練習(xí)，牢固掌握.