)如圖所示,在三棱錐PABC中,ABBC,平面PAC⊥平面ABC,PDAC于點D,AD=1,CD=3,PD.
 
(1)證明:△PBC為直角三角形;
(2)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值.
(1)見解析(2)
(1)證明:取AC中點E,聯(lián)結(jié)BE,以點E為坐標(biāo)原點,以EBEC所在的直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Exyz,則B(,0,0),C(0,2,0),P(0,-1,).
于是=(-,-1,),=(-,2,0).
因為·=(-,-1,)·(-,2,0)=0,所以,
所以BPBC,所以△PBC為直角三角形.

(2)由(1)可得,A(0,-2,0).
于是=(0,1,),=(,1,-),=(0,3,-).
設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,yz),

y=1,則z,x.
所以平面PBC的一個法向量為n=(,1,).
設(shè)直線AP與平面PBC所成的角為θ,
則sin θ=|cos〈,n〉|=,
所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為.
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