橢圓數(shù)學(xué)公式的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓x2+y2-1上，過右焦點作相互相垂直的兩條弦AB，CD，設(shè)M，N分別為AB，CD的中點．
（1）求橢圓的方程；
（2）證明直線MN恒過定點，并求該定點的坐標．

（1）解：由題意，橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓x2+y2-1上
∴b=c=1，∴a2=b2+c2=2
∴橢圓的方程為；
（2）證明：當AB的斜率為0或不存在時，直線MN的方程為y=0；
當AB的斜率存在且不為0時，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）
設(shè)A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則點M的坐標為（，）
直線AB的方程y=k（x-1）與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（2k2+1）-4k2x+2k2-2=0
∴x1+x2=
∴y1+y2=k（x1+x2-2）=
∴M（）
同理可得N（）
∴直線MN的方程為：=
化簡可得（2-2k2）y=3k（x-）
∴直線MN恒過定點（，0）．
分析：（1）根據(jù)橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓x2+y2-1上，可得b=c=1，從而可求橢圓的方程；
（2）直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，確定M、N的坐標，可得直線MN的方程，化簡即可得到直線MN恒過定點．
點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線恒過定點，確定直線MN的方程是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1．
（1）若橢圓C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程；若在橢圓Cb上存在兩點M、N關(guān)于直線y=x+1對稱，求實數(shù)b的取值范圍？
（3）如圖：直線y=x與兩個“相似橢圓”M：
x2
a2
+
y2
b2
=1和Mλ：
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分別交于點A，B和點C，D，試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點E和點F（非橢圓頂點），使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法．（不必證明）

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（2011•徐匯區(qū)三模）定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1．
（1）若橢圓C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程；若在橢圓Cb上存在兩點M、N關(guān)于直線y=x+1對稱，求實數(shù)b的取值范圍？
（3）如圖：直線l與兩個“相似橢圓”
x2
a2
+
y2
b2
=1和
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分別交于點A，B和點C，D，證明：|AC|=|BD|

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓的兩個焦點和短軸兩個頂點是一個含60°角的菱形的四個頂點，則橢圓的離心率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年黑龍江省高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理） 題型：填空題

1.         若橢圓的兩個焦點和短軸兩個頂點是有一個內(nèi)角為的菱形的四個頂點，則橢圓的離心率為          ．

 

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橢圓的兩個焦點和短軸兩個頂點是有一個內(nèi)角為的菱形的四個頂點，則橢圓的離心率為          ．

 

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