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設有一顆彗星沿一橢圓軌道繞地球運行,地球恰好位于橢圓軌道的焦點處,當此彗星離地球相距m萬千米和m萬千米時,經過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角分別為,求該彗星與地球的最近距離.

 

m萬千米.

【解析】

試題分析:仔細分析題意,由橢圓的幾何意義可知:只有當該彗星運行到橢圓的較近頂點處時,彗星與地球的距離才達到最小值即為a﹣c,這樣把問題就轉化為求a,c或a﹣c.

【解析】
建立如圖所示直角坐標系,設地球位于焦點F(﹣c,0)處,

橢圓的方程為+=1,

當過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角為時,

由橢圓的幾何意義可知,彗星A只能滿足∠xFA=(或∠xFA′=).

作AB⊥Ox于B,則|FB|=|FA|=m,

故由橢圓的第二定義可得

m=﹣c),①m=﹣c+m).②

兩式相減得m=m,∴a=2c.

代入①,得m=(4c﹣c)=c,

∴c=m.∴a﹣c=c=m.

答:彗星與地球的最近距離為m萬千米.

練習冊系列答案
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