Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的最大值；

（2）若函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，求得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最大值，得到答案．

（2）求得，分類討論求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合題意和函數(shù)零點(diǎn)的概念，即可求解．

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，

當(dāng)或時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又由，，

所以時(shí)，的最大值為1.

（2）由函數(shù)，則，

①當(dāng)時(shí)，由，得或，在上是增函數(shù)，

又由，，

∴在上有零點(diǎn)，不合題意，

②當(dāng)時(shí)，有兩個實(shí)數(shù)根，即函數(shù)有兩個零點(diǎn)，不合題意，

③當(dāng)時(shí)，由，得，由，得或，

所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，，

因?yàn)楹瘮?shù)存在唯一零點(diǎn)，且，

則滿足，即，因?yàn)?/span>，所以，

又由，且，

所以有唯一零點(diǎn)，且，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.