如圖:點(diǎn)P在正方形ABCD-A1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng),則下列四個(gè)命題:
①C1B與平面ABCD所成的角為45°;
②三棱錐A-D1PC的體積不變;
③A1P∥面ACD1
④DP⊥BC1
其中正確的命題的序號(hào)是
①②③
①②③
分析:對(duì)于①,CB為C1B在平面ABCD中的射影,所以∠C1BC為C1B與平面ABCD所成的角,等于45°;
對(duì)于②,可以證明BC1∥平面AD1C,故BC1上任意一點(diǎn)到平面AD1C的距離均相等,所以三棱錐A-D1PC的體積不變;
對(duì)于③,可證面BA1C1∥面ACD1,從而由面面平行的性質(zhì)可得A1P∥面ACD1;
對(duì)于④,由于DC⊥平面BCB1C1,所以DC⊥BC1,若DP⊥BC1,則DC與DP重合,與條件矛盾.
解答:解:對(duì)于①,CB為C1B在平面ABCD中的射影,所以∠C1BC為C1B與平面ABCD所成的角,等于45°,故正確;
對(duì)于②,∵AD1∥BC1,BC1?平面AD1C,AD1?平面AD1C,∴BC1∥平面AD1C,故BC1上任意一點(diǎn)到平面AD1C的距離均相等,所以以P為頂點(diǎn),平面AD1C為底面,三棱錐A-D1PC的體積不變,故正確;
對(duì)于③,連接A1B,A1C1,則A1C1∥AC,∵AD1∥BC1∴面BA1C1∥面ACD1,從而由面面平行的性質(zhì)可得A1P∥面ACD1,故正確;
對(duì)于④,由于DC⊥平面BCB1C1,所以DC⊥BC1,若DP⊥BC1,則DC與DP重合,與條件矛盾,故不正確;
綜上知,①②③
故答案為:①②③
點(diǎn)評(píng):本題考查三棱錐體積求法中的等體積法,考查線面平行、垂直的判定,考查線面角,綜合性強(qiáng).
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