Question

四邊形ABCD是梯形，•=0，與共線，A，B是兩個定點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），C、D是兩個動點(diǎn)，且滿足|CD|=|BC|．
（Ⅰ）求動點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線BC與動點(diǎn)C的軌跡E的另一交點(diǎn)為P，過點(diǎn)B且垂直于BC的直線交動點(diǎn)C的軌跡E于M，N兩點(diǎn)，求四邊形CMPN面積的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由•=0，與共線可知，
四邊形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又|CD|=|BC|，
所以動點(diǎn)C的軌跡為以B為焦點(diǎn)，DA為準(zhǔn)線，
對稱軸為x軸的拋物線．
設(shè)動點(diǎn)C的軌跡E的方程y²=2px（p＞0），
則p=|AB|=2
所以動點(diǎn)C的軌跡E的方程是y²=4x（x≠0，x≠1）…（3分）
（Ⅱ）設(shè)直線BC斜率為k，
由題意知，k存在且k≠0，
直線BC的方程y=k（x-1）
依題意，
∴k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)P（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
則，x₁x₂=1，

直線MN垂直于直線BC，
以-替代上式中的k，得|MN|=4（k²+1）…（7分）
∴
=
=
=
=
∵
四邊形CMPN面積的最小值等于32． …（12分）
分析：（Ⅰ）由•=0，與共線可知四邊形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又|CD|=|BC|，所以動點(diǎn)C的軌跡為以B為焦點(diǎn)，DA為準(zhǔn)線，對稱軸為x軸的拋物線．由此能求出動點(diǎn)C的軌跡E的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線BC方程y=k（x-1），由，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，設(shè)P（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能求出四邊形CMPN面積的最小值．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯點(diǎn)是圓錐曲線知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．