Question

3．f（x）=-x|x|+px．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）當(dāng)p=-2時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)性并加以證明；
（3）當(dāng)p=2時(shí)，畫出函數(shù)的圖象并指出單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義，證明f（-x）=f（x）即可；
（2）函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，利用單調(diào)性的定義證明；
（3）根據(jù)解析式可得函數(shù)的圖象，即可指出單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）定義域是R，函數(shù)是奇函數(shù)． 
證明：∵f（-x）=x|-x|-px=-（-x|x|+px）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)                                          （2分）
（2）是單調(diào)遞減函數(shù)．當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）=x²-2x
理由：設(shè)x₁＜x₂＜0，則x₁-x₂＜0，且x₁+x₂＞-2，即x₁+x₂-2＜0，
∵f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是單調(diào)遞減函數(shù)． 　�。�7分）
（3）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x（x≥0）\\{x^2}+2x（x＜0）\end{array}\right.$

增區(qū)間[-1，1），減區(qū)間（-∞，-1）和[1，+∞）（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查奇偶性、單調(diào)性的定義，證明單調(diào)性的關(guān)鍵在于作差變形這一步．