Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動點P到兩點、的距離之差的絕對值等于.設(shè)點P的軌跡為C.

（1）求C的軌跡方程；

（2）過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，且Q恰好為線段的中點，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

（1）根據(jù)條件，結(jié)合雙曲線定義即可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）當(dāng)斜率不存在時，不符合題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線，變形后由中點坐標(biāo)公式可求得斜率，即可求得直線方程.

（1）動點P到兩點的距離之差的絕對值等于，且，

設(shè)，則，

根據(jù)雙曲線定義可知動點P的軌跡C為雙曲線，

焦點在軸上，且，所以，

則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C：.

（2）過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，且Q恰好為線段的中點，

當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，則由雙曲線對稱性可知線段的中點在軸上，所以不滿足題意；

當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程為，設(shè)，

則，化簡可得，

因為有兩個交點，所以

化簡可得恒成立，

所以，

因為恰好為線段的中點，則，

化簡可得，

所以直線方程為，即.