Question

設函數f（x）=|x-2|+|2x+4|．
（1）解不等式f（x）≥6；
（2）若關于x的不等式f（x）≤|2a+1|的解集不是空集，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）根據絕對值的代數意義，去掉函數f（x）=|x-2|+|2x+4|中的絕對值符號，求解不等式f（x）≥6；
（2）把關于x的不等式f（x）≤|2a+1|的解集不是空集，轉化為關于x的不等式f（x）≤|2a+1|的解集非空，求出函數f（x）的最小值，即可求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）由于函數f（x）=|x-2|+|2x+4|=

-3x-2，x＜-2 x+6，-2≤x＜2 3x+2，x≥2

，
故由f（x）≥6可得|x-2|+|2x+4|≥6，
故有 ①

x＜-2 -3x-2≥6

； ②

-2≤x＜2 x+6≥6

；③

x≥2 3x+2≥6

．
解①求得x≤-

8

3

；解②求得0≤x＜2；解③求得x≥2．
綜上可得，不等式的解集為（-∞，-

8

3

]∪[0，+∞）；
（2）關于x的不等式f（x）≤|2a+1|的解集不是空集，
即|x-2|+|2x+4|≤|2a+1|的解集不是空集．
由（1）可得當x=-2時，函數f（x）取得最小值為4，
即f（x）=|x-2|+|2x+4|≥4，則|2a+1|≥4，
解得：a≥

3

2

或a≤-

5

2

．
即a的取值范圍是：{a|a≥

3

2

或a≤-

5

2

}．

點評：本題主要考查了絕對值的代數意義，去絕對值體現了分類討論的數學思想；根據分段函數解析式求函數的最值，不等式有解的問題轉化為求函數最值問題，屬中檔題．