已知橢圓C:+=1的離心率為,左焦點為F(-1,0),
(1)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且斜率為k的直線L與橢圓C交于M,N兩點,若,求直線L的方程;
(2)橢圓C上是否存在三點P,E,G,使得S△OPE=S△OPG=S△OEG=?
(1) 和; (2) 橢圓上不存在滿足條件的三點
解析試題分析:(1) 由已知 可解得 ,即橢圓方程為 ?傻 。根據(jù)點斜式可得直線即直線方程為,將直線方程和橢圓方程聯(lián)立消去整理為關(guān)于的一元二次方程,可得根與系數(shù)的關(guān)系。再根據(jù)可求得的值,即可得所求直線方程。 (2)根據(jù)兩點確定一條直線可設(shè)兩點確定的直線為 l,注意討論直線的斜率存在與否,用弦長公式可得的長,用點到線的距離公式可得點到線的距離,從而可得三角形面積。同理可得另兩個三角形面積,聯(lián)立方程可得三點橫縱坐標(biāo)的平方,根據(jù)三點坐標(biāo)判斷能否與點構(gòu)成三角形,若能說明存在滿足要求的三點否則說明不存在。
試題解析:(1)由題意:橢圓的方程為.
設(shè)點,由得直線的方程為.
由方程組消去,整理得,
可得,.
因為,
所以
由已知得,解得.
故所求直線的方程為:和
(2) 假設(shè)存在滿足.
不妨設(shè)兩點確定的直線為 l,
(ⅰ)當(dāng)直線l的斜率不存在時, 兩點關(guān)于軸對稱,
所以,
因為在橢圓上,
所以.①
又因為,
所以|,②
由①、②得,
此時,.
(ⅱ)當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為,
由題意知,將其代入得
,
其中,
即,(★)
又,
所以.
因為點到直線l的距離為,
所以.
又,
整理得 ,且符合(★)式.
此時,
.
綜上所述,,結(jié)論成立.
同理可得:,
解得;
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設(shè)橢圓C1:=1(a>b>0)的左、右焦點分別為為,恰是拋物線C2:的焦點,點M為C1與C2在第一象限的交點,且|MF2|=.
(1)求C1的方程;
(2)平面上的點N滿足,直線l∥MN,且與C1交于A,B兩點,若,求直線l的方程.
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如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓的離心率為,過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦與.當(dāng)直線斜率為0時,.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.
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已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為,且橢圓C上一點與兩個焦點F1,F(xiàn)2構(gòu)成的三角形的周長為2+2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過右焦點F2作直線l 與橢圓C交于A,B兩點,設(shè),若,求的取值范圍.
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如圖,已知平面內(nèi)一動點到兩個定點、的距離之和為,線段的長為.
(1)求動點的軌跡;
(2)當(dāng)時,過點作直線與軌跡交于、兩點,且點在線段的上方,線段的垂直平分線為
①求的面積的最大值;
②軌跡上是否存在除、外的兩點、關(guān)于直線對稱,請說明理由.
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已知橢圓:()的右焦點為,且橢圓過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)斜率為的直線與橢圓交于不同兩點、,以線段為底邊作等腰三角形,其中頂點的坐標(biāo)為,求△的面積.
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(理)已知點是平面直角坐標(biāo)系上的一個動點,點到直線的距離等于點到點的距離的2倍.記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)斜率為的直線與曲線交于兩個不同點,若直線不過點,設(shè)直線的斜率分別為,求的數(shù)值;
(3)試問:是否存在一個定圓,與以動點為圓心,以為半徑的圓相內(nèi)切?若存在,求出這個定圓的方程;若不存在,說明理由.
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已知拋物線上的任意一點到該拋物線焦點的距離比該點到軸的距離多1.
(1)求的值;
(2)如圖所示,過定點(2,0)且互相垂直的兩條直線、分別與該拋物線分別交于、、、四點.
(i)求四邊形面積的最小值;
(ii)設(shè)線段、的中點分別為、兩點,試問:直線是否過定點?若是,求出定點坐標(biāo);若不是,請說明理由.
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如圖,動點與兩定點、構(gòu)成,且,設(shè)動點的軌跡為.
(1)求軌跡的方程;
(2)設(shè)直線與軸相交于點,與軌跡相交于點,且,求的取值范圍.
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