在斜四棱柱中,已知底面是邊長為4的菱形,,且點在面上的射影是底面對角線與AC的交點O,設點E是的中點,.
(Ⅰ) 求證:四邊形是矩形;
(Ⅱ) 求二面角的大小;
(Ⅲ) 求四面體的體積.
(1)證明略(2)二面角E─BD─C的大小為(3)
解法一:(Ⅰ) 連接. 因為四邊形為菱形,
所以,又面,
所以. 而,所以.
因為四邊形是平行四邊形,所以四邊形是矩形. 4分
(Ⅱ) 連接OE,因為,所以平面,
∴ ,即為二面角E──C的平面角.
在菱形中,
又E是的中點,.所以.
在△中,,
∴ ,,
所以在△中,有,即二面角E─BD─C的大小為. 9分
(Ⅲ) 設點D到平面的距離為h,則有.
因為是的中點,所以
14分
解法二:(Ⅰ) 連結AC、BD相交于O,連結.
由已知,有AC⊥BD,⊥面ABCD,故可建立空間直角坐標系,
且以下各點的坐標分別為:
, 1分
設,
,
. 3分
又, 四邊形為平行四邊形.
是矩形. 4分
(Ⅱ) 設,則.
, 由 可求得
∴.
設為平面EBD的法向量,
則由,得
可取 ,
. 6分
平面平面BDC的法向量為,
而 .
∴ 二面角E─BD─C的大小為. 9分
(Ⅲ) 設為平面的法向量,
則由 ,
得
∴ 可取,.
到平面的距離 . 11分
而,又由(Ⅰ)知, ,
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(滿分14分)在斜四棱柱中,已知底面是邊長為4的菱形,,且點在面上的射影是底面對角線與AC的交點O,設點E是的中點,.
(Ⅰ) 求證:四邊形是矩形;
(Ⅱ) 求二面角的大小;
(Ⅲ) 求四面體的體積.[來源:學科網(wǎng)]
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