(滿分14分)在斜四棱柱中,已知底面是邊長為4的菱形,,且點(diǎn)在面上的射影是底面對(duì)角線與AC的交點(diǎn)O,設(shè)點(diǎn)E是的中點(diǎn),.
(Ⅰ) 求證:四邊形是矩形;
(Ⅱ) 求二面角的大;
(Ⅲ) 求四面體的體積.[來源:學(xué)科網(wǎng)]
(I)略 (Ⅱ) (Ⅲ)
解法一:(Ⅰ) 連接.
因?yàn)樗倪呅?img width=43 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/123/399323.gif" >為菱形,
所以,又面,[所以.
而,所以.因?yàn)樗倪呅?img width=52 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/144/399344.gif" >是平行四邊形,所以四邊形是矩形.[來源:學(xué),科,網(wǎng)]
(Ⅱ) 連接OE,因?yàn)?img width=120 height=20 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/146/399346.gif" >,所以平面,∴ ,即為二面角
E──C的平面角.在菱形中,
又E是的中點(diǎn),.所以.[來源:Zxxk.Com]
在△中,,[來源:Z。xx。k.Com]∴ ,,[來源:學(xué)科網(wǎng)]
所以在△中,有,即二面角E─BD─C的大小為. 9分
(Ⅲ) 設(shè)點(diǎn)D到平面的距離為h,則有.
因?yàn)?img width=16 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/167/399367.gif" >是的中點(diǎn),所以14分
解法二:(Ⅰ) 連結(jié)AC、BD相交于O,連結(jié).
由已知,有AC⊥BD,⊥面ABCD,故可建立空間直角坐標(biāo)系,
且以下各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:, 1分
設(shè), , 3分又, 四邊形為平行四邊形.是矩形. 4分
(Ⅱ) 設(shè),則.
, 由 可求得
∴. 設(shè)為平面EBD的法向量,
則由,得
可取 , . 6分
平面平面BDC的法向量為,
而 .
∴ 二面角E─BD─C的大小為. 9分
(Ⅲ) 設(shè)為平面的法向量,
則由 ,得
∴ 可取,.
到平面的距離 . 11分
而,又由(Ⅰ)知, ,
.················ 14分
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