Question

若橢圓與雙曲線有相同的焦點F₁、F₂，P是兩曲線的一個交點，則△F₁PF₂的面積是

1. A.
   4
2. B.
   2
3. C.
   1
4. D.
   

Answer 1

C
分析：由題設(shè)中的條件，設(shè)兩個圓錐曲線的焦距為2c，橢圓的長軸長2，雙曲線的實軸長為2，由它們有相同的焦點，得到m-n=2．不妨設(shè)m=5，n=3，根據(jù)雙曲線和橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2，|PF₁|-|PF₂|=2，△PF₁F₂ 中，由三邊的關(guān)系得出其為直角三角形，由△PF₁F₂的面積公式即可運算得到結(jié)果．
解答：由題意設(shè)兩個圓錐曲線的焦距為2c，橢圓的長軸長2，雙曲線的實軸長為2，
由它們有相同的焦點，得到m-n=2．
不妨設(shè)m=5，n=3，
橢圓的長軸長2，雙曲線的實軸長為2，
不妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2 ①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2 ②
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=16
又|F₁F₂|=4，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
則△F₁PF₂的形狀是直角三角形
△PF₁F₂的面積為•PF₁•PF₂=（）（）=1
故選C．
點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，求出焦點三角形的邊長來．