【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,B1,B2是橢圓的短軸端點(diǎn),P是橢圓上異于點(diǎn)B1,B2的一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)直線PB1的方程為時(shí),線段PB1的長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)Q滿足: .求證:△PB1B2與△QB1B2的面積之比為定值.
【答案】(1) ;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:設(shè), ,(1)根據(jù)直線的方程為時(shí),線段的長(zhǎng)為,可分別求得和,從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)方法一:直線的斜率為,由得直線的斜率為,即可分別表示出直線和直線的方程,聯(lián)立直線方程,得,從而可得;方法二:設(shè)直線, 的斜率為, ,則直線的方程為,由得直線的方程為,將直線的方程代入橢圓方程,從而求得,再由在橢圓上,得與的數(shù)量關(guān)系,從而表示出直線的方程,即可求得,進(jìn)而求得.
試題解析:設(shè), .
(1)在中,令,得,從而b3.
由得.
∴.
∵
∴,解得.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)方法一:
直線的斜率為,由,則直線的斜率為.
于是直線的方程為: .
同理, 的方程為: .
聯(lián)立兩直線方程,消去y,得.
∵在橢圓上
∴,從而.
∴.
∴.
方法二:
設(shè)直線, 的斜率為k, ,則直線的方程為.
由直線的方程為.
將代入,得,
∵是橢圓上異于點(diǎn), 的點(diǎn)
∴,從而 .
∵在橢圓上
∴,從而.
∴,得.
由,所以直線的方程為.
聯(lián)立則,即.
∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是一個(gè)非空集合, 是定義在上的一個(gè)運(yùn)算.如果同時(shí)滿足下述四個(gè)條件:
(1)對(duì)于,都有;
(2)對(duì)于,都有;
(3)對(duì)于,使得;
(4)對(duì)于,使得(注:“”同(iii)中的“”).
則稱關(guān)于運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群.現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算:
①是整數(shù)集合, 為加法;②是奇數(shù)集合, 為乘法;③是平面向量集合, 為數(shù)量積運(yùn)算;④是非零復(fù)數(shù)集合, 為乘法. 其中關(guān)于運(yùn)算構(gòu)成群的序號(hào)是___________(將你認(rèn)為正確的序號(hào)都寫(xiě)上).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
()當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程.
()如果函數(shù)在上單調(diào)遞減,求的取值范圍.
()當(dāng)時(shí),討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,棱形的邊長(zhǎng)為6, ,.將棱形沿對(duì)角線折起,得到三棱錐,點(diǎn)是棱的中點(diǎn), .
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物.我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)采用世界衛(wèi)生組織設(shè)定的最寬限值,即日均值在以下空氣質(zhì)量為優(yōu);在之間空氣質(zhì)量為良;在之間空氣質(zhì)量為輕度污染.某市環(huán)保局從該市2018年上半年每天的日均值數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取20天的數(shù)據(jù)作為樣本,將日均值統(tǒng)計(jì)如下:
日均值() | |||||
天數(shù) | 4 | 6 | 5 | 3 | 2 |
(1)在空氣質(zhì)量為輕度污染的數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取兩天日均值數(shù)據(jù),求其中恰有一天日均值數(shù)據(jù)在之間的概率;
(2)將以上樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(直接作圖):
(3)該市規(guī)定:全年日均值的平均數(shù)不高于,則認(rèn)定該市當(dāng)年的空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo).現(xiàn)以這20天的日均值的平均數(shù)來(lái)估計(jì)2018年的空氣質(zhì)量情況,試預(yù)測(cè)該市2018年的空氣質(zhì)量是否達(dá)標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司有員工1000名,平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)10萬(wàn)元.為了增加企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力,決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),調(diào)整出名員工從事第三產(chǎn)業(yè),調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)為萬(wàn)元(),剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)可以提高.
(1)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn),則調(diào)整員工從事第三產(chǎn)業(yè)的人數(shù)應(yīng)在什么范圍?
(2)在(1)的條件下,若調(diào)整出的員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)團(tuán)委組織了“紀(jì)念抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利73周年”的知識(shí)競(jìng)賽,從參加競(jìng)賽的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其成績(jī)(均為整數(shù))分成六段,,…,后,畫(huà)出如圖所示的部分頻率分布直方圖.觀察圖形給出的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)求第四組的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;
(2)估計(jì)這次競(jìng)賽的及格率(60分及以上為及格)和平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形CDEF是正方形,四邊形ABCD為直角梯形,∠ADC=90°,AB∥DC,平面CDEF⊥平面ABCD,AB=ADCD=a,M在FB上,且BD∥平面ECM.
(1)求證:M為BF中點(diǎn);
(2)求證:平面BCF⊥平面EMC;
(3)求直線CD與平面ECM所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列中,a1=2,a3+2是a2和a4的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)記=log2,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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