【題目】教材曾有介紹：圓上的點處的切線方程為.我們將其結論推廣：橢圓上的點處的切線方程為，在解本題時可以直接應用.已知，直線與橢圓有且只有一個公共點.

（1）求的值

（2）設為坐標原點，過橢圓上的兩點分別作該橢圓的兩條切線，且與交于點.當變化時，求面積的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)相切利用判別式即可求解；

（2）求出直線的方程，求出弦長和點到直線的距離，表示出的面積，再求最大值.

（1）將直線代入橢圓方程，

可得：，

由直線和橢圓相切：，，

解得：；

（2）橢圓方程，

設，

則兩點處的切線分別為：

，，兩條直線交于點，

則，，即兩點在直線上，

所以直線的方程為，

所以到直線的距離，

由得：，是方程的兩根，

，

，

所以的面積：

，

根據(jù)基本不等式，當且僅當時等號成立，

所以的面積，

當且僅當時面積取得最大值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】數(shù)列滿足，，為非零常數(shù).

（1）是否存在實數(shù)，使得數(shù)列成為等差數(shù)列或等比數(shù)列，若存在，找出所有的，及對應的通項公式；若不存在，說明理由；

（2）當時，記，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）求數(shù)列的通項公式.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知曲線的極坐標方程為，直線，直線 ．以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系．

（1）求直線，的直角坐標方程以及曲線的參數(shù)方程；

（2）已知直線與曲線交于兩點，直線與曲線交于兩點，求的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調性；

（2）若對恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：上任意一點到其焦點的距離的最小值為1.，為拋物線上的兩動點（、不重合且均異于原點），為坐標原點，直線、的傾斜角分別為，.

（1）求拋物線方程；

（2）若，求證直線過定點；

（3）若（為定值），探求直線是否過定點，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某農戶計劃種植萵筍和西紅柿，種植面積不超過畝，投入資金不超過萬元，假設種植萵筍和西紅柿的產量、成本和售價如下表：

年產量/畝

年種植成本/畝

每噸售價

萵筍

5噸

1萬元

0.5萬元

西紅柿

4.5噸

0.5萬元

0.4萬元

那么，該農戶一年種植總利潤（總利潤=總銷售收入-總種植成本）的最大值為____萬元

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，過點作斜率為的直線與拋物線交于不同的兩點，．

（1）求的取值范圍；

（2）若為直角三角形，且，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知平面內一動點（）到點的距離與點到軸的距離的差等于1，

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點的直線與軌跡相交于不同于坐標原點的兩點，求面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知城市周邊有兩個小鎮(zhèn)、，其中鄉(xiāng)鎮(zhèn)位于城市的正東方處，鄉(xiāng)鎮(zhèn)與城市相距，與夾角的正切值為2，為方便交通，現(xiàn)準備建設一條經過城市的公路，使鄉(xiāng)鎮(zhèn)和分別位于的兩側，過和建設兩條垂直的公路和，分別與公路交匯于、兩點，以為原點，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.

（1）當兩個交匯點、重合，試確定此時路段長度；

（2）當，計算此時兩個交匯點、到城市的距離之比；

（3）若要求兩個交匯點、的距離不超過，求正切值的取值范圍.

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