Question

（2010•唐山一模）已知7件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一不放回地進(jìn)行檢驗(yàn)，直到2件次品都能被確認(rèn)為止．
（I）求檢驗(yàn)次數(shù)為4的概率；
（II）設(shè)檢驗(yàn)次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）檢驗(yàn)次數(shù)為4的情況是前3次在5件正品中取到2件，在2件次品中取到1件，第4次取到次品，由此能求出檢驗(yàn)次數(shù)為4的概率．
（II）ξ的可能值為2，3，4，5，6，P（ξ=2）=

C 2 2

C 2 7

=

1

21

，P（ξ=3）=

C 1 2 C 1 5

C 2 7

•

1

C 1 5

=

2

21

，P（ξ=4）=

1

7

，P(ξ=5)=

C 1 2 C 3 5

C 4 7

•

1

C 1 3

+

C 5 5

C 5 7

=

5

21

，P(ξ=6)=

C 1 2 C 4 5

C 5 7

=

10

21

．由此能求出ξ的分布列和ξ的期望．

解答：解：（I）記“在4次檢驗(yàn)中，前3次檢驗(yàn)中有1次得到次品，第4次檢驗(yàn)得到次品”為事件A，則檢驗(yàn)次數(shù)為4的概率P(A)=

C 1 2 C 2 5

C 3 7

•

1

C 1 4

=

1

7

．…（3分）
（II）ξ的可能值為2，3，4，5，6，其中P（ξ=2）=

C 2 2

C 2 7

=

1

21

，
P（ξ=3）=

C 1 2 C 1 5

C 2 7

•

1

C 1 5

=

2

21

，
P（ξ=4）=

1

7

，
P(ξ=5)=

C 1 2 C 3 5

C 4 7

•

1

C 1 3

+

C 5 5

C 5 7

=

5

21

，P(ξ=6)=

C 1 2 C 4 5

C 5 7

=

10

21

．…（8分）
∴ξ的分布列為

ξ	2	3	4	5	6
P	1 21	2 21	1 7	5 21	10 21

…（10分）
ξ的期望Eξ=2×

1

21

+3×

2

21

+4×

3

21

+5×

5

21

+6×

10

21

=

105

21

=5…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法和離散型隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意概率的性質(zhì)和排列組合數(shù)公式的運(yùn)用．