Question

某貨船在索馬里海域航行中遭遇海盜襲擊，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍護(hù)航艦在A處獲悉后，立即測(cè)出該船在方位角45°，距離10海里的C處，并測(cè)得該船正沿方位角105°的方向，以每小時(shí)10海里的速度向前行駛，我海軍護(hù)航艦立即以每小時(shí)10

3

海里的速度前去營(yíng)救，求護(hù)航艦的艦向和靠近貨船所需的時(shí)間．

Answer 1

分析：設(shè)所需時(shí)間為th，可得AB=10

3

t且CB=10t，△ABC中由余弦定理建立關(guān)于t的方程，解出t=1，從而得到AB=10

3

、BC=10．然后由正弦定理解出∠CAB=30°，即可得到護(hù)航艦航行的方位角．

解答：解：如圖所示，設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí)，AB=10

3

t，CB=10t
在△ABC中，由余弦定理AB²=BC²+AC²-2BC•ACcos∠BAC，
得300t²=100t²+100-2•10t•10cos120°
解之得t=1或t=-

1

2

，
所以護(hù)航艦需要1小時(shí)靠近貨船．--------------（6分）．
此時(shí)AB=10

3

，BC=10，
在△ABC中，由正弦定理得

BC

sin∠CAB

=

AB

sin120°

，
即

10

sin∠CAB

=

10 3

3 2

，解得sin∠CAB=

1

2

∵∠CAB∈(0，

π

2

)，∴∠CAB=30°，
由此可得：護(hù)航艦航行的方位角為45°+30°=75°．
∴護(hù)航艦的艦向?yàn)楸逼珫|75°，靠近貨船所需的時(shí)間為1小時(shí)---------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，求護(hù)航艦的航向和所需時(shí)間，著重考查了利用正余弦定理解三角形及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．